Projekt Mathematik FUNKTIONEN Mathematik
In Dankbarkeit zwei Füchsen gewidmet: Mr. Ronald Fox, der mir während meines High-School-Jahres in den USA die Augen für die Faszination der Mathematik öffnete. Herrn Dr. Herbert Voß, der mir beibrachte, die Mathematik anschaulich zu betrachten, und ohne den diese Sammlung heute nicht das wäre, was sie ist. Daniel Kumitz ã Alle Rechte der Veröffentlichung liegen bei den Autoren! Jede Veränderung bedarf unserer ausdrücklichen Zustimmung. Berlin, 1995 Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeines 6 1.1 Variablen und Mengen 6 1.2 Monotonie 6 1.3 Umkehrfunktionen (Inverse Funktionen) 7 1.4 Stetigkeit 9 1.5 Symmetrien 10 1.6 Asymptoten 11 1.6.1 Vertikale Asymptoten 11 1.6.2 Horizontale Asymptoten 11 1.6.3 Schiefe Asymptoten 12 2 Funktionstypen 12 2.1 Algebraische Funktionen 12 2.1.1 Rationale Funktionen 13 2.1.1.1 Ganzrationale Funktionen (Polynom-Funktionen) 13 2.1.1.1.1 Allgemeines 13 2.1.1.1.2 Allgemeine Ganzrationale Funktionen 14 2.1.1.1.3 Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten 14 2.1.1.1.4 Verhalten der Polynomfunktionen im Unendlichen 15 2.1.1.2 Gebrochenrationale Funktionen 15 2.1.1.2.1 Allgemeine Gebrochenrationale Funktionen 15 2.1.1.2.2 Hyperbeln oder Potenzfunktionen mit ganzzahligem negativen Exponenten 15 2.1.2 Irrationale Funktionen 15 2.1.2.1 Wurzelfunktionen 15 2.1.2.1.1 Quadratwurzelfunktionen 15 2.1.2.1.2 Kubikwurzelfunktionen 15 2.2 Transzendente Funktionen 15 2.2.1 Winkel-, Kreis,- oder Trigonometrische Funktionen 15 2.2.2 Arcus-Funktionen 15 2.2.3 Exponential-, Logarithmus und Hyperbelfunktionen 15 2.2.3.1 Exponentialfunktionen 15 2.2.3.2 Logarithmusfunktionen 15 2.2.3.3 Hyperbolische Funktionen 15 2.3 Verknüpfte Funktionen 15 2.4 Verkettete Funktionen 15 2.5 Elementare Funktionen 15 2.6 Nicht-Elementare Funktionen 15 3 Funktionsveränderungen 15 3.1 Die vertikale Verschiebung 15 3.2 Die horizontale Verschiebung 15 3.3 Spiegelung an den Koordinatenachsen 15 3.4 Streckung und Stauchung 15 3.4.1 Streckung oder Stauchung in Richtung der y-Achse 15 3.4.2 Streckung und Stauchung in Richtung der x-Achse 15 3.5 Beispiele 15 3.5.1 Normalparabel 15 3.5.2 Beispiel Sinusfunktion 15 3.5.2.1 Amplitudenänderungen 15 3.5.2.2 Frequenzänderungen 15 3.5.2.3 Horizontale Verschiebung (Phasenänderngen) 15 3.5.2.4 Vertikale Verschiebung (Fahrstuhl) 15 3.5.2.5 Kombination von Strecken und Verschieben 15 3.5.3 Die anderen trigonometrischen Funktionen 15 3.5.3.1 Tangens und Kotangens 15 4 Nullstellen 15 4.1 Rationale Funktionen 15 4.1.1 Potenzfunktionen mit positiven Exponenten 15 4.1.2 Allgemeine ganzrationale Funktionen 15 4.1.2.1 Konstante und Lineare Funktionen 15 4.1.2.2 Quadratische Funktionen 15 4.1.2.3 Funktionen dritten und höheren Grades 15 4.1.3 Gebrochenrationale Funktionen 15 4.2 Wurzelfunktionen 15 4.3 Trigonometrische Funktionen 15 4.4 Exponential- und Logarithmusfunktionen 15 5 Numerische Verfahren zur Nullstellenbestimmung 15 5.1 Das Verfahren von Newton 15 5.2 Die Regula-Falsi 15 6 Beispiele 15 6.1 Kurvendiskussion 1 15 6.2 Kurvendiskussion 2 15 6.3 Flächenberechnung 15 7 Formelsammlung 15 7.1 Potenzen 15 7.2 Wurzeln 15 7.3 Binomische Formeln 15 7.4 pq-Formel 15 7.5 Winkelfunktionen (Additionstheoreme) 15 7.6 Ableitungsregeln 15 7.7 Integrationsregeln 15 8 Mathematische Begriffe 15
An einem kreativen Oktobernachmittag 1993 geboren, an langen, gemütlichen Winterabenden bis Februar 1994 entstanden, erschien an den Iden des März die erste Version dieser Funktionensammlung. Zunächst für meine Mathematik-Nachhilfeschüler gedacht, nahm sie in jenem Winter tagtäglich an Volumen zu. Jetzt erscheint die nochmals vollständig überarbeitete und ergänzte zweite Fassung, die vor allen Dingen übersichtlicher gestaltet wurde. Diese Zusammenstellung ist für Schüler der gymnasialen Oberstufe gedacht, hauptsächlich für Grundkursteilnehmer. Aber auch dem Leistungskursschülern kann sie zumindest als Gedächtnisstütze gute Dienste erweisen. Dem Leser soll durch anschauliche Erklärungen ermöglicht werden, die wichtigen mathematischen Funktionen zu verinnerlichen und vor allen Dingen ihre Graphen schnell analysieren und zeichnen zu können. Man muß praktisch nur einige wichtige Prinzipien begreifen, was wir hier durch anschauliche Beschreibungen, wie “Fahrstuhl-” oder “Zimmernummereffekt” zu unterstützen versuchen. Neben solchen, den Einstieg erleichternden, “spielerischen” Betrachtungsweisen wurde natürlich immer auch Wert auf exakte mathematische Beschreibungen gelegt. Um diese Zusammenstellung als Nachschlagewerk benutzen zu können, wird empfohlen, sie erst als Ganzes durchzulesen. Erst werden grundlegende Begriffe erklärt, bevor die “normalen” Funktionen zu den etwas “schwierigeren” führen. Insbesondere werden die für die Analysis wichtige Nullstellenbestimmung und Graphenverschiebungen und -spiegelungen behandelt. Die eigentliche Analysis und Integration sind nicht Inhalt dieser Sammlung. Trotzdem beziehen sich einige der Beispiele im sechsten Kapitel auf diese Thematik. Dank gilt noch Cornelia Kunze, die Korrektur las und auch auf die Verständlichkeit achtete. Berlin, im März 1995 Daniel Kumitz Getreu der Devise, daß man gemeinsam meistens mehr erreicht als ein einsamer “Einzelkämpfer”, haben wir versucht, diese Sammlung in einer zweiten Fassung zu optimieren. Die wesentliche Arbeit hat Daniel mit seiner ersten Ausgabe vollbracht. Jeder, der schon einmal ein etwas längeres Referat geschrieben hat, weiß, was an Arbeit dahintersteckt. Diese Sammlung ist auch eine Bestätigung dafür, daß Schüler eben doch gemeinsam mit Lehrern etwas erreichen können, sei es, wie in diesem Fall, auch “nur” Mathematisches. Berührungsängste gab es jedenfalls nicht, “höchstens beim Erstellen der Graphen, wenn es um die Tangenten ging”. Das Ganze dient letztlich uns, den Schülern zum besseren Verständnis, den Lehrern als Unterstützung für ihren Unterricht. Berlin, im März 1995 Herbert Voß
G rundlegend für die Mathematik sind die sogenannten Funktionen. Fast alle naturwissenschaftlichen oder gesellschaftspolitischen Vorgänge lassen sich in Funktionen einer oder mehrerer Variablen ausdrücken. Dabei muß das Aufstellen derartiger Funktionen nicht unbedingt einfach sein.
E ine Funktion ist eine Menge geordneter Paare (x;y). Sie ist eine eindeutige Zuordnung, d.h. jedem x-Wert wird nur ein einziger y-Wert zugeordnet. Jede senkrechte Gerade darf also den Graphen der Zuordnung/Funktion höchstens einmal schneiden. Dabei spielen die Namen der Variablen keine Rolle. Häufig (v.a. in der Physik) wird statt x die Variable t (für die Zeit) verwendet. Grundsätzlich gibt es eine unabhängige Variable und eine abhängige Variable. Meist ist y als Funktionswert die abhängige Variable (sie ist von x abhängig) und x (t,s,etc.) die unabhängige Variable (sie wird willkürlich gewählt). Die unabhängige Variable kommt aus der Definitionsmenge D, die abhängige Variable wird der Wertemenge W entnommen. Diese enthält alle Abbildungen der unabhängigen Variablen unter f, d.h. D wird abgebildet auf W (D®W). Man kann D und W bestimmten Funktionen zuordnen, z.B. ist Df die Definitionsmenge von f(x) oder Wh die Wertemenge von h(x). Die Darstellungsweisen y=3x und f(x)=3x sind grundsätzlich identisch. Beide bezeichnen: (jedem x wird sein Dreifaches zugeordnet). Die Darstellungsweise y=... ermöglicht das Rechnen mit beiden Seiten der Gleichung, z.B. bei der Darstellung eines Kreises: . Man beachte, daß es sich nicht um eine Funktion handelt! Lediglich f(x)=... weist immer auf eine Funktion hin, z.B.: (Halbkreisfunktion). Die Aufgabe der unabhängigen Variablen ist die eines Platzhalters. So wird die Variable durch die Zahl ersetzt, deren Funktionswert wir ermitteln wollen. Suchen wir z.B. von den Funktionswert von (-2), so ersetzen wir alle x durch (-2): .
G ilt für eine Funktion, daß auf dem Interval I der jeweils rechts von f(x1) folgende Funktionswert f(x2) größer oder gleich ist, so ist die Funktion auf dem Intervall I monoton steigend: . Monoton fallend ist sie dagegen wenn der umgekehrte Fall vorliegt, also jeder Funktionswert rechts von f(x1) kleiner oder gleich ist: , mit .
Abbildung 1-1 Beispiele zur Monotonie Streng monoton steigend ist eine Funktion, wenn gilt ; streng monoton fallend, wenn gilt: , mit . (Hier reicht es also nicht, wenn der Funktionswert gleich bleibt!) Das Intervall I heißt Monotonieintervall. Der entsprechende Teil des Graphen heißt dann Monotoniebogen. Abbildung 1-2 Beispiele zur Umkehrfunktion
E ine Umkehrfunktion läßt sich nur von einer eindeutig umkehrbaren Funktion bilden, so daß also wieder eine Funktion entsteht. Funktionen sind anschaulich eindeutig umkehrbar, wenn jede waagerechte Linie den Funktionsgraphen höchstens einmal schneidet, also jedem y-Wert nur ein x-Wert zugeordnet wird. Mathematisch ausgedrückt heißt das: eine Funktion ist eindeutig umkehrbar, wenn aus folgt, daß , womit streng monotone Funktion eindeutig umkehrbar sind. Nicht-stetige Funktionen können auch eindeutig umkehrbar sein, wenn sie nicht streng monoton sind. So ist die Funktion aus Abbildung 1-2a zwar nicht monoton für die gesamte Definitionsmenge, sondern nur auf den Teilintervallen [-¥;0] (streng monoton steigend) und [0;+¥] (streng monoton fallend), aber doch eindeutig umkehrbar! Denn jedem y-Wert wird nur ein x-Wert zugeordnet. Dies wurde dadurch möglich, daß f in zwei verschiedenen Gleichungen für beide Intervalle ausgedrückt ist, und dadurch ein “Sprung” des Graphen bei x=0 entsteht: (Intervallweise definierte Funktion) Derartige Fälle der intervallweisen Definition sind z.B. in naturwissenschaftlichen Prozessen häufig zu finden. Bildet man die Umkehrfunktion, so werden alle Lösungspaare vertauscht: Aus (x;y) wird (y;x) (siehe Abbildung 1-3). D.h. wurde z.B. vorher der Zahl x=2 der Wert y=4 zugeordnet, so wird jetzt der Zahl y=4 der Wert x=2 zugeordnet. Gewohnheitsmäßig werden dann zusätzlich die Variablennamen mitvertauscht, so daß dann der Zahl x=4 der Wert y-1=2 zugeordnet wird. Ebenfalls vertauscht werden Definitions- und Wertemenge: Df wird zu und W wird zu . G Die Umkehrfunktion wird ermittelt, indem die Funktionsgleichung nach der unabhängigen Variablen (x) aufgelöst wird, und dann diese mit der abhängigen Variablen (y) vertauscht wird (siehe auch Abbildung 1-2):
Zeichnerisch wurde der Graph an der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten, y=x, gespiegelt. Nicht eindeutig umkehrbare Funktionen können aber auch ohne weiteres für Teilintervalle, in denen der Funktionsgraph streng monoton verläuft, invertiert werden, z.B. f(x)=sinx (I=[0;p/2]) oder f(x)=x2 (I=[0;+¥)). G Es ist manchmal sinnvoll zu wissen, welche Funktionen zueinander invers sind. Die meisten Taschenrechner haben nur eine “ln” (logarithmus naturalis)-Taste, aber keine für “e”. Da aber die meisten Taschenrechner eine INV-Taste haben, kann man ohne weiteres die Werte für ln-1x , also ex, ausrechnen! Z.B. ergibt “2-INV-ln” in der Anzeige 7,389, was e2 entspricht. Das gleiche gilt für sin-1, cos-1, tan-1 und log-1 (eigentlich “lg”, d.h. zur Basis 10!).
E ine Funktion f(x) ist anschaulich stetig, wenn der Graph ohne Unterbrechungen, wie Lücken oder Sprünge gezeichnet werden kann. G Eine Funktion f(x), deren Definitionsbereich eine Umgebung der Stelle x=c enthält, ist an der Stelle x=c genau dann stetig, wenn drei Bedingungen erfüllt sind: 1) Die Funktion ist für x=c definiert, d.h. f(c) existiert; 2) Der Grenzwert existiert: 3) Es gilt f(c)=g Gelten die drei Bedingungen für alle xÎD, so ist diese Funktion über dem gesamten Definitionsbereich stetig. Beispiele: 1. Die Funktion ist an der Stelle x=2 unstetig. Zwar ist vorhanden, aber f(1) existiert nicht! 2. Die Gaußklammerfunktion y=f(x)=x[x] (Abbildung 2-12b) ist z.B. an der Stelle x=2 definiert: f(2)=2. Es gilt aber: , d.h., ist nicht vorhanden. Die Funktion ist bei x=2 und jedem weiteren ganzzahligen Wert unstetig.
D Abbildung 1-4 Symmetrische Funktion ie Graphen von Funktionen können Symmetrien zu Punkten und vertikalen Geraden aufweisen. Interessant sind vor allem die Graphen von Funktionen, die punktsymmetrisch zum Ursprung (Nullpunkt des Koordinatensystems) oder achsensymmetrisch zur y-Achse (Ordinate) liegen. Für eine ursprungssymmetrische Funktion gilt: f(x)=-f(-x). Sie heißt definitionsgemäß ungerade Funktion (Abbildung 1-4). G Ganzrationale Funktionen, die ausschließlich ungerade Exponenten aufweisen, sind grundsätzlich punktsymmetrisch zum Ursprung, z.B. . Für eine y-Achsensymmetrische Funktion gilt: f(x)=f(-x). Sie heißt definitionsgemäß gerade Funktion (Abbildung 1-5). G Ganzrationale Funktionen, die ausschließlich gerade Exponenten enthalten, sind grundsätzlich symmetrisch zur y-Achse, z.B.: . Funktionsgraphen können aber auch zu anderen vertikalen Achsen oder zu anderen Punkten symmetrisch sein (nicht jedoch zu horizontalen Achsen, dann wären es ja keine Funktionen mehr). Wie Abbildung 2-3a zeigt, liegt z.B. die Funktion
punktsymmetrisch zum Punkt (-1;0).
A ls Asymptoten bezeichnet man Funktionen, an die sich der Graph einer anderen Funktion für x®±¥ annähert. Im folgenden sollen hier nur lineare Asymptoten behandelt werden, d.h. vertikale, horizontale oder schiefe Asymptoten. Nicht jeder Funktionsgraph hat zwangsläufig Asymptoten! Häufig treten sie bei den gebrochenrationalen Funktionen auf, überhaupt bei Verknüpfungen von Funktionen durch Quotientenbildung, z.B. , mit periodischen, vertikalen Asymptoten (Polstellen) für
Unter vertikalen Asymptoten versteht man senkrechte Geraden. Der Graph nähert sich einer vertikalen Asymptote bei y®±¥ an, wenn x®xp. xp ist der x-Wert, durch den die Asymptote geht, er heißt Polstelle. Vertikale Asymptoten werden mit x=xp bezeichnet. G Vertikale Asmptoten können von Funktionsgraphen nicht geschnitten werden, da sonst keine eindeutige Zuordnung vorliegt!
An horizontale Asymptoten nähert sich der Graph einer Funktion bei x®±¥ an. Dabei sind die horizontalen Asymptoten für plus und minus Unendlich nicht immer gleich. Eine solche waagerechte Gerade kann vom Funktionsgraphen mehrmals geschnitten werden, bevor der Graph asymptotisch wird und sich der horizontalen Asymptote von oben oder unten annähert. Horizontale Asymptoten werden mit einer konstanten Gleichung ausgedrückt (z.B. y=2).
Der Funktionsgraph kann sich gegen x®±¥ auch Geraden nähern, die eine “normale” Steigung aufweisen, also 0<|m|<+¥. Sie werden durch einfache lineare Gleichungen beschrieben, z.B. für Abbildung 1-7 mit A(x)=yA=x oder .
A ls algebraisch gilt eine Funktion, die aus einer begrenzten Anzahl von Summen, Differenzen, Multiplikationen, Divisionen und Wurzeln besteht, die die Form xn enthalten.
Wie der Name “Polynom-Funktionen” schon sagt, setzen diese Funktionen sich aus vielen unterschiedlichen Gliedern zusammen. Je nach Anzahl der Glieder ist eine solche Funktion ersten Grades, zweiten Grades, dritten Grades usw. Glieder sind zum Beispiel a1x oder allgemein aixi. Sie werden durch einen Index unterschieden, da das erste Glied ein x in der ersten und das zweite ein x in der i-ten Potenz enthält. Das größte auftretende Gleid heißt häufig anxn. Koeffizienten sind die Zahlen, die in den einzelnen Gliedern vor der Variablen stehen. Die Funktion hat die Koeffizienten 3, 7, -1 und -107. Da das letzte Glied keine Variable enthält (denn x0=1), wird es auch additive Konstante genannt (da die konstante Zahl 107 subtrahiert wird). Die anderen Koeffizienten sind multiplikative Konstanten (da die Variable mit ihnen multipliziert wird: 3 ist im Beispiel multiplikative Konstante im kubischen Glied). Der Grad einer ganzrationalen Funktion bestimmt sich dabei aus der Anzahl der Glieder, die eine Variable enthalten, bzw. stimmt mit dem größten Exponenten überein. Achtung: Auch Glieder mit dem Koeffizienten 0 sind Glieder und müssen gezählt werden; z.B. ist f(x)=x2 eine Funktion zweiten Grades, da der größte Exponent “2” ist. Auch die Summe der Glieder mit x ergibt zwei, denn eigentlich steht dort f(x)=1x2+0x+0) G Definitionsmenge und Wertemenge einer jeden Polynom-Funktion sind Â. Polynom-Funktionen sind stetig im gesamten Definitionsbereich. Sinngemäß heißen die sortierten Glieder einer Polynom-Funktion: konstantes Glied a0, lineares Glied a1x, quadratisches Glied a2x2 kubisches Glied a3x3, usw.
a) Ganzrationale Funktion nullten Grades: f(x)=k. Es ist eine konstante Funktion, d.h. der Graph ist eine Parallele zur x-Achse. Z.B. f(x)=3. Für jeden x-Wert gilt f(x)=3, d.h. jedem x-Wert wird der Wert 3 zugeordnet. (xà3) (Abbildung 2-1a). b) Ganzrationale Funktion ersten Grades: f(x)=mx+n. Es ist eine lineare Funktion (der Graph ist eine Gerade) mit der Steigung m und dem y-Achsenabschnitt n (Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse). Z.B. f(x)=2x-3 (Abbildung 2-1a b). c) Ganzrationale Funktion zweiten Grades: f(x)=ax2+bx+c. Sie wird auch quadratische Funktion genannt. Ihr Graph ist eine Parabel, z.B. f(x)=x2; die sogenannte Normalparabel (Abbildung 2-1a c). d) Ganzrationale Funktion dritten Grades (kubische Funktion): f(x)=ax3+bx2 +cx +d. Der Graph wird kubische Parabel genannt, z.B. f(x)=x3 (Abbildung 2-1a d). e) Die allgemeinen Formen ganzrationaler Funktionen höheren Grades lauten analog: vierten Grades: f(x)=ax4+bx3 +cx2+dx+e fünften Grades: f(x)=ax5+bx4+cx3+dx2 +ex+f sechsten Grades: f(x)=ax6+bx5+cx4+dx3+ex2+fx +g usw. Eine beliebige Polynom-Funktion (n-ten Grades):
Einen Spezialfall bilden die Potenzfunktionen. Potenzfunktionen sind definiert als f(x)=xn, nÎN. Hier sind bis auf einen alle Koeffizienten gleich Null. Ist n gerade, dann ist auch die Funktion gerade, z. B. f(x)=x2 oder f(x)=x4 (Abbildung 2-1a, c,e). Bei ungeradem n ist auch die Potenzfunktion ungerade, z.B. f(x)= Abbildung 2-1a, d). Tabelle 1 Eigenschaften der Potenzfunktion y=xn mit n>0
Für alle Polynom-Funktionen gilt: wenn x®±¥ geht, dann geht f(x)®±¥. Trotzdem kann man einer Polynom-Funktion ansehen, wann ihr Graph nach +¥ und wann nach -¥ verläuft. Entscheidend ist der Koeffizient im größten Glied, also an: Tabelle 2 Eigenschaften der Polynomfunktionen
Bei einer gebrochenrationalen Funktion wird eine Polynom-Funktion Z(x) durch eine andere Polynom-Funktion N(x) dividiert:
Gebrochenrationale Funktionen sind überall dort definiert, wo N(x)¹0 (anderfalls liegt die unerlaubte Division durch Null vor!). Die Definitionsmenge ist Â, vermindert um die Nullstellen der Nennerfunktion N(x). Innerhalb der Definitionsmenge sind gebrochenrationale Funktionen stetig. G Gebrochenrationale Funktionen sind an den Stellen N(x)=0 nicht definiert! Wir unterscheiden drei Fälle: a) Z(x)=0, aber N(x)¹0. Hier liegt eine Nullstelle der Funktion f(x) vor. Die Nullstellen der Zählerfunktion Z(x) sind die Nullstellen der Funktion f(x). b) Z(x)¹0, aber N(x)=0. Hier liegen Polstellen vor, d.h. der Graph wandert an beiden Seiten der Polstelle nach plus oder minus Unendlich (dies ist leicht erklärbar, denn je kleiner der Nenner wird, desto größer wird der Bruch). Die betreffenden x-Werte werden mit xp bezeichnet. Die senkrechten Geraden, die durch xp1 ,xp2, ... gehen, sind vertikale Asymptoten (vgl. Abbildung 1-6). Für die Bestimmung der Polstellen reicht also die Bestimmung der Nullstellen des Nennerpolynoms. c) Z(x)=0 und N(x)=0. Hier tritt ein “Loch” (bzw. eine Lücke) im Graphen von f(x) auf, z.B. bei der Funktion . Für alle xÎR\{-2} läßt sich diese Funktion auf (x+2) kürzen. Für x=-2 erhält man die Division von Null durch Null! x+2 ist aber eindeutig eine lineare Funktion. So zeichnet man denn auch diese Gerade und läßt an der Stelle x=2 ein Loch im Graphen, da dieser Funktionswert nicht definiert ist. Hier spricht man von einer hebbaren Definitionslücke (siehe Abbildung 2-12). Entsprechend ist auch der Grenzwert für x=2 existent, der Graph nähert sich von beiden Seiten an y=0 an: . Da der Funktionswert f(2) nicht definiert ist, ist die Funktion bei x=2 nicht stetig. Man unterscheidet die gebrochenrationalen Funktionen in echt und unecht gebrochene. Ist der größte Exponent von Z(x) gleich m und der größte Exponent von N(x) gleich n, dann gilt: a) echt gebrochen ist eine gebrochenrationale Funktion, wenn m<n, z.B. . Für diese Fälle ist keine sinnvolle Polynomdivision mehr möglich. b) unecht gebrochen, wenn m³n, z.B. . Bei den unecht gebrochenen Funktionen lassen sich ganzzahlig Vielfache herausdividieren (durch Polynomdivision mit Rest): . Die horizontalen Asymptoten der gebrochenrationalen Funktionen ergeben sich wie folgt: a) m<n: die gebrochenrationale Funktion ist echt gebrochen. Der Graph nähert sich der Gerade y=0 (x-Achse) an für x®±¥. b) m=n: Entscheidend sind die Koeffizienten im größten Glied von Z(x) und N(x): ist am der Koeffizient im Glied amxm (der Funktion Z(x)) und bn der Koeffizient im Glied bnxn (der Funktion N(x)), so nähert sich der Graph der horizontalen Asymptote an, z.B. . Diese Funktion hat zwei vertikale Asymptoten bei xp1/p2=±2. Die horizontale Asymptote ist y=2, da (Abbildung 1-5). c) m>n: Für die Funktionswerte des Graphen gilt y®±¥, wenn x®±¥. Durch Polynomdivision läßt sich der ganzzahlige Anteil der Funktion herausdividieren, so daß eine genauere Aussage über das Verhalten möglich ist. Dieser ganzzahlige Anteil entspricht der Asymptote, der sich der Graph für x®±¥ annähert; denn der echt gebrochene Rest geht dann gegen Null, z.B. . Diese Funktion nähert sich also für x®±¥ der Normalparabel y=x2 an, während der Ausdruck gegen Null strebt. Für m=n+1 hat der Graph eine schiefe Asymptote: die Funktion hat die Asymptote y=x, da nach dem Herausziehen des ganzzahlig Vielfachen die Funktionsgleichung wie folgt lautet:
Besonders häufig sind gebrochenrationale Funktionen mit Z(x)=k (z.B. k=1) und N(x)=ax+b: . Sie haben genau eine Polstelle bei , die sich aus N(x)=0 ergibt.
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