Matrizen. . . . . . . . . . . Matrizen . . . . . . . . . . . . . . Inhaltsverzeichnis Kapitel 1 Definitionen und Herleitung von Matrizen 1.1 Was sind Matrizen
Kapitel 2 Matrizenoperation
2.4 Matrizenmultiplikation 2.5 Matrizendivision Kapitel 3 Rechengesetz für Matrizen Kapitel 4 Determinanten 4.1 Definition von einer Determinanten 4.2 Eigenschaften von Determinanten
Christian Behon 8.c Kapitel 5 Spezielle Matrizenformen 5.1 Transponierte Matrix
Kapitel 6 Anwendung der Determinanten zur Lösung von Gleichungen
1.Kapitel
1.1 Was sind Matrizen Früher hat man Gleichungssysteme durch ein vollständiges Koeffizientenschema angeschrieben. z.B.: Gleichungssysteme mit 3 Unbekannten à Allgemeine Schreibweise: CATLEY und andere Algebraiker haben ein einfacheres Koeffizientenschema hergeleitet.
à Allgemeine Schreibweise für ein Gleichungssystem n Unbekannte : àAllgemeines Glied der Matrix : Die Zahlen heißen Elemente oder Koeffizienten der Matrix ,die Zahl der Zeilenindex, die Zahl der Spaltenindex. Der Koeffizient ist also die Zahl in der -ten Zeile und -ten Spalte (Zeilenindex vor Spaltenindex) von . Früher hat man nur Matrizen betrachtet die Quadratisch waren. Das heißt das die Matrix gleich viele Zeilen und Spalten hat. Quadratische Matrizen haben die Ordnung n x n 1.2 Arten von Matrizen Heute kann man auch nichtquadratische Matrizen lösen. Sie haben die Ordnung n x m Beispiel: 2 x 4 Sonderformen von Matrizen Eine Matrix kann auch nur aus 1 Zeile bestehen. Ordnung 1*n Definition: Zeilenvektor Es gibt auch Matrizen die aus einer Spalte bestehen. Ordnung m x 1 Definition: Spaltenvektor 2.Kapitel
2.1 Addition von Matrizen à Addition: à Einführen einer neuen Unbekannten: à Additionsregel:
Beispiel:
2.2 Subtraktion von Matrizen Die Subtraktion lässt sich anhand der Addition ableiten. à Subtraktionsregel: Beispiel: 2.3 Skalar-Multiplikation = Lambda ist ein Skalar Beispiel: 2.4 Matrizen-Multiplikation Es ist wichtig, das die Multiplikation von A nach B nur möglich ist, wenn die Anzahl der Spalten der Matrix A mit der Anzahl der Zeilen von der Matrix B Übereinstimmt. A hat die Ordnung : B hat die Ordnung : Als Ergebnis ergibt sich eine Matrix mit der Ordnung : Die Multiplikation ergibt sich aus der Multiplikation der Zeilen der Matrix A mit den Spalten der Matrix B Beispiel: à Rechenweg: Im allgemeinen kann man zu je 2 Matrizen A + B nicht beide Produkte A x B und B x A bilden.(Linksmultiplikation und Rechtsmultiplikation) In Sonderfällen (z.B.: bei quadratischen Matrizen,.... ) ist ein Rechtsmultiplikation und Linksmultiplikation möglich, aber die Produkte ungleich. Beispiel :
2.5 Matrizen-Division Rechendivisionen für Matrizen existieren nicht. 3.Kapitel Rechengesetze der Matrizen 4.Kapitel 4.1 Definition von Determinanten Nur jede quadratische Matrix A lässt sich eine Zeile zuordnen à DETERMINANTE Die Lösung von linearen Gleichungssystemen führte zur Berechnung von Determinanten. Die Lösung von Determinanten hoher Ordnung ist äußerst Umfangreich. Die Lösung einer 2 x 2 Determinanten erfolgt durch Überkreuzmultiplikation.
Beispiel: 4.2 Eigenschaften einer Determinanten
Eine Determinante D lässt sich nach den Elementen einer beliebigen Zeile entwickeln das Bedeutet :
Sind Unterdeterminanten, wenn man die dazugehörige Zeile und die dazugehörige Spalte streicht. Beispiel: 5.Kapitel 5.1 Transponierte Matrix: Die Transponierte Matrix besitzt in der gewöhnlichen Algebra keine Ähnlichkeit. Jeder Matrix kann man eine 2 Matrix zuordnen. Sie entsteht aus , durch vertauschen von Zeilen und Spalten.
Beispiel: Sonderfall einer quadratischen Matrix: In diesem Fall braucht man ein Element an der Hauptdiagonale zu spiegeln.
5.2 Rechengesetze für T Matrizen. 5.3 Adjungierte Matrix: Vorraussetzung zur Bildung einer adjungierten Matrix ist das sie quadratisch sein muss Die Elemente werden durch die Adjunkte (Unterdeterminante) der Elemente von ersetzt. Die Unterdeterminanten werden wie bei der Entwicklung von Determinanten nach Zeilen oder Spalten ermittelt.
Beispiel: 5.4 Die Inverse Matrix Die Inverse Matrix berechnet sich aus der adjungierten Matrix : adj.A dividiert mit |A|
Beispiel: 6Kapitel 6.1 Cramersche Regel oj744k7361tjjl : Schreibt man die Koeffizienten eines linearen Gleichungssystems mit Gleichungen und Variabeln als Element einer Determinante D in der durch das Gleichungssystem gegebenen Anordnung und bezeichnet mit Die Determinante die aus der Determinante dadurch hervorgeht dass die Spalte gestrichen und dafür die Rechte Seite des Gleichungssystems gesetzt wird so ist ... Beispiel :
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