GEOMETRIE- ABSTANDSBERECHNUNGEN

GEOMETRIE- ABSTANDSBERECHNUNGEN

ABSTAND EBENE - EBENE

E: Ax + By + Cz - D = 0 sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh F: Ax + By + Cz - E = 0

• Abstand nur zu berechnen, wenn es sich um zwei parallele Ebenen handelt

• Länge des Normalenvektors bestimmen sv288x5464bvvh [ ÖA^2 +B^2 + C^3 ]

• E -D, geteilt durch die Länge des Normalenvektors 45288xsd64bvh3r

• Ergebnis = Abstand der beiden parallelen Ebenen

ABSTAND PUNKT - EBENE

sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh (Möglichkeit 1)

sv288x5464bvvh

• Aus dem Punkt und dem Normalenvektor eine zweite Ebene bilden (diese ist dann parallel zur Ebene E)

• Normalenvektor verknüpft mit x sv288x5464bvvh minus Normalenvektor verknüpft mit Punkt

sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh ® sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh ® sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh ® sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh ®

sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh n sv288x5464bvvh o sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh x sv288x5464bvvh - sv288x5464bvvh n sv288x5464bvvh o sv288x5464bvvh p sv288x5464bvvh

• Ebenengleichung aufstellen, dann Abstand zwischen den beiden parallelen Geraden berechnen (sh. oben)

• Ergebnis = Abstand Punkt- Ebene

sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh (Möglichkeit 2)

• Hesse’sche Normalenform aufstellen

• Dazu Länge des Normalenvektors berechnen

sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh ® sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh ® sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh ®

sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh 1 / L ( n sv288x5464bvvh ) sv288x5464bvvh * sv288x5464bvvh [( n sv288x5464bvvh ) sv288x5464bvvh o sv288x5464bvvh x - sv288x5464bvvh D] sv288x5464bvvh = 0

sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh

sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh ®

• Punkt für x sv288x5464bvvh einsetzen

• Ergebnis = Abstand Punkt - Ebene

ABSTAND GERADE - EBENE

• Mit dem Antragspunkt der Geraden und dem Normalenvektor der Ebene eine Ebenengleichung aufstellen

sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh ® sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh ® sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh ® sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh ®

sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh n sv288x5464bvvh o sv288x5464bvvh x sv288x5464bvvh - sv288x5464bvvh n o sv288x5464bvvh p

• Abstand der beiden Ebenen bestimmen

• Ergebnis = Abstand Gerade- Ebene

ABSTAND PUNKT - GERADE

• Der Richtungsvektor der Geraden wird sv288x5464bvvh als Normalenvektor betrachtet, um eine Ebenengleichung aufstellen zu können sv288x5464bvvh (Also Ebene aus Richtungsvektor und Punkt aufspannen)

sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh ® sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh ® sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh ® sv288x5464bvvh ®

sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh n o x - sv288x5464bvvh n o p

• Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene berechnen

• Geradengleichung nach r (bzw. der Variablen) auflösen

• Einsetzen in die Ebenengleichung

• Ergebnis = Schnittpunkt Gerade - Ebene sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh ® sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh ®

• Vektor aus Schnittpunkt und Punkt bilden sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh ( s sv288x5464bvvh - sv288x5464bvvh p )

• Länge des Vektors berechnen

• Ergebnis = sv288x5464bvvh Abstand Punkt - Gerade

ABSTAND GERADE sv288x5464bvvh - GERADE ( gilt nur für parallele Geraden! )

• Mit dem Richtungsvektor von Gerade 1 und dem Antragspunkt von Gerade 2 (oder anders herum) eine Ebenengleichung aufstellen (sh. oben)

• Schnittpunkt berechnen (Gerade 1 und Ebene)

• weitere Rechnung sh. Abstand Punkt- Gerade

ABSTAND ZWISCHEN ZWEI WINDSCHIEFEN GERADEN

• Beziehung zwischen den beiden Geraden herstelllen

• sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh ® sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh ® sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh ®

sv288x5464bvvh n sv288x5464bvvh o sv288x5464bvvh u1 sv288x5464bvvh = 0 sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh sv288x5464bvvh n sv288x5464bvvh o u2 sv288x5464bvvh =0

• Durch Additionsverfahren n bestimmen sv288x5464bvvh (beliebigen Wert für ein n einsetzen, um die anderen beiden bestimmen zu können)

• Ergebnis = Normalenvektor

• Mit dem (berechneten) Normalenvektor und dem Antragspunkt der Geraden 1 Ebenengleichung aufstellen

• Mit dem (berechneten) Normalenvektor und dem Antragspunkt der Geraden 2 Ebenengleichnug aufstellen

• Abstand der beiden Ebenen berechnen

• Ergebnis = Abstand der beiden windschiefen Geraden

ABSTAND EBENE - URSPRUNG

• D durch die Länge des Normalenvektors teilen

• Ergebnis = Abstand Ebene - Ursprung