Funktionen

1. Funktionen

1. Funktionsbegriff

1. Definition

Es seien X,Y nichtleere Mengen. Eine Vorschrift f mit der Eigenschaft

heiße Abbildung (oder Funktion oder Zuordnung) von X in Y.

Das Element y = f(x) heiße Bild von x unter f, und x heiße ein Urbild von f(x).

Die Menge X heißt Definitionsbereich der Funktion f, häufig mit D(f) bezeichnet. Die Menge Y heißt Zielmenge von f. Die Menge f(X) heiße Bildbereich oder Wertebereich von f, kurz Bild f.

2. Grundfunktionen

(a) Die ganzrationale Funktion: 33257jpr63ngi6t

Für a_n ¹ 0 ist f(x) = P_n(x) ein Polynom vom Grade n.

Sonderfälle:

• konstante Funktion
  f(x) := b.

• lineare Funktion
  f(x) := ax. pg257j3363nggi

• affine Funktion
  f(x) := ax + b.

(b) Die gebrochen rationale Funktion

(c) Die n-te Wurzelfunktion

(d) Der Absolutbetrag

(e) Die Signumsfunktion

(f) Die Entire-Funktion

3. Maximaler Definitionsbereich

Der maximale Definitionsbereich D_max(f) Í R einer Funktion f ist diejenige Menge, die zu jedem ihrer Elemente x Î D_max(f) einen formelmäßigen Ausdruck für f(x) zuläßt, während f(x) für x Ï D_max(f) nicht definierbar ist.

4. Vektor- und matrixwertige Funktionen

(a) Vektorwertige Funktionen:

Es seien

Funktionen mit gemeinsamen DefinitionsbereichDann ist eine vektorwertige Funktion durch folgende Vorschrift erklärt:

(b) Matrixwertige Funktionen:

Es seien

Funktionen mit gemeinsamen Definitionsbereich Dann ist eine matrixwertige Funktion durch folgende Vorschrift erklärt:

5. Grundoperationen auf Funktionen

1. Nullstellen:
   Eine Zahl x₀ Î D(f) heißt Nullstelle von f, wenn gilt: f(x₀) = 0.
   

2. Summe:
   (f + g)(x) := f(x) + g(x).
   

3. Skalares Vielfaches:
   (lf)(x) := lf(x).
   

4. Produkt:
   (fg)(x) := f(x)g(x).
   

5. Quotient:
   
   

6. Betrag:
   |f|(x) := |f(x)|.
   
   Nur in R:

7. Positiver Teil:
   
   

8. Negativer Teil:
   
   

9. Maximum:
   (max{f,g})(x) := max{f(x),g(x)}.
   

10. Minimum:
    (min{f,g})(x) := min{f(x),g(x)}.

Es gelten folgende Zusammenhänge:

2. Grenzwerte

Anmerkung: Im Folgenden gilt nicht notwendigerweise, daß x₀ Î D(f).

6. Eigentliche Grenzwerte

1. Linksseitiger Grenzwert:
   
   

2. Rechtsseitiger Grenzwert:
   
   

3. Grenzwert:
   

4. Sprünge:
   Existieren im Punkt x₀ Î R voneinander verschiedene rechts- und linksseitige Grenzwerte
   , so hat die Funktion f bei x₀ einen Sprung der Höhe |g⁺ - g^-|.
   

5. Singularitäten:
   Ein Punkt x₀ Î R heißt Unbestimmtheitsstelle oder singuläre Stelle oder Singularität von f, wenn wenigstens einer der Grenzwerte g⁺ oder g^- nicht existiert. Singularitäten treten bei rationalen Funktionen in den Nullstellen des Nennerpolynoms Q(x) auf, sofern diese nicht gleichzeitig Nullstellen des Zählerpolynoms P(x) mindestens derselben Ordnung sind.
   

6. Algebraische Operationen:
   Seien Dann gelten die folgenden Regeln:
   (I)
   (II)
   (III)
   (IV)
   

7. Ordnungsrelationen:
   (I)
   (II)
   (III) Einschließungskriterium:
   

7. Uneigentliche Grenzwerte

Definition:

(a) Die Funktion f hat in +¥ (bzw. in -¥) den Grenzwert g, wenn gilt:

Schreibweise:

2. Die Funktion f hat in x₀ Î R den uneigentlichen Grenzwert +¥ (bzw. -¥), wenn gilt:

Schreibweise:

Rechenregeln:

Seien lim f(x) = +¥ = lim h(x), lim g(x) = g

	Limes-Regel	Formale Regel
(1)		¥ + r = ¥, r Î R
(2)		¥ * r = ¥, r > 0
(3)		¥ + ¥ = ¥
(4)
(5)