Formeln für Winkelfuntionen (Formeln zur Trigonometrie)Formeln für Winkelfuntionen (Formeln zur Trigonometrie) sin2x + cos2x = 1 Trigonometrischer Pythagoras sin2x2 + cos2x2 = 1 Darstellung des Sinus mit Hilfe von anderen Winkeln sin x = ± Ö(1 - cos2x) 24418onp59smb6f tan x sin x = ± Ö(1 + tan2x) 1 nm418o4259smmb sin x = ± Ö(1 + cot²x) tan x * cot x = 1 Darstellung des Kosinus mit Hilfe von anderen Winkeln cos x = ± Ö(1 - sin²x) 1 cos x = ± cos x = ± Ö(1 + cot²x) Darstellung des Tangens mit Hilfe von anderen Winkeln sin x tan x = ± Ö(1 - sin²x) Ö(1 - cos²x) tan x = ± cos x 1 tan x = ± cot x Darstellung des Kotangens mit Hilfe von anderen Winkeln Ö(1 - sin²x) cot x = ± sin x cos x cot x = ± Ö(1 - cos²x)
1 cot x = ± tan x
Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck x:= alpha y:=beta a sin x = "Gegenkathete / Hypotenuse” c b sin y = = cos x c
b cos x = "Ankathete / Hypotenuse" c
a cos y = = sin x c
a tan x = "Gegenkathete / Ankathete" b
b tan y = = cot x a
b cot x = "Ankathete / Gegenkathete" a a cot y = = tan x b
Komplementwinkelbeziehung
sin (90° - x) = cos x
cos (90° - x) = sin x
tan (90° - x) = cot x
cot (90° - x) = tan x
Additionstheoreme sin (x + y) = sin x * cos y + cos x * sin y cos (x + y) = cos x * cos y - sin x * sin y tan x + tan y tan (x + y) = 1 - tan x * tan y cot x * cot y - 1 cot (x + y) = cot x + cot y sin (x - y) = sin x * cos y - sin y * cos x cos (x - y) = cos x * cos y + sin x * sin y tan x - tan y tan (x - y) = 1 + tan x * tan y cot x * cot y + 1 cot (x - y) = cot y - cot x
Funktionen des doppelten Winkels 2 tan x 1 + cot2 x sin 2x = sin (x + x) = 2 sin x * cos x = = 1+tan2 x 2cot x cos 2x = cos (x + x) = 1 - 2 sin²x = 2 cos2x -1 = cos2 x - sin2 x 2 tan x tan 2x = 1 - tan²x cot²x - 1 cot 2x = 2 cot x Extra: sin 3x = sin (x + 2x)
= sin x * cos 2x + cos x * sin 2x
= sin x(1 - 2 sin²x) + cos x * 2 sin x * cos x = sin x - 2 sin3x + 2 sin x cos²x = sin x - 2 sin3x + 2 sin x (1 - sin²x)
= 3 sin x - 4 sin3x
Funktionen des halben Winkels
x x x x sin x = sin + = 2sin * cos 2 2 2 2
x x x x x x cos x = cos + = 2cos2 - 1 = cos2 - sin2 = cos2 2 2 2 2 2 2 x - 1 - cos2 2
x Ö 1 + cos x cos = ± 2 2
x Ö 1 - cos x sin = ± 2 2
x Ö 1 - cos x 1 - cos x tan = ± = 2 1 + cos x sin x
x Ö 1 + cos x Man beachte bei der folgenden Tabelle cot = ± die Struktur der Radikanten, deswegen wurde 2 1 - cos x nicht gekürzt
Umwandlung von Summen von Winkelfunktionen in Produkte (I) sin (x + y) = sin x * cos y + cos x * sin y ¦ (II) sin (x - y) = sin x * cos y - cos x * sin y ¦ (I) + (II) = (III)
(III) sin (x + y) + sin (x - y) = 2 sin x * cos y a = x + y (1') b = x - y (2') a + b = 2x
a + b a = 2 a + b b - a y = a - = 2 2 2a a + b 2a - a - b - = 2 2 2 a + b b - a sin a + sin b = 2 sin * cos 2 2 (I) sin (x + y) = sin x * cos y + sin y * cos x ¦ (II) sin (x - y) = sin x * cos y - sin y * cos x ¦ (I)-(II) a + b a - b sin x - sin y = 2 cos * sin 2 2 sin (x + y) tan x + tan y = cos x * cos y sin (x - y) tan x - tan y = cos x * cos y sin (y + x) cot x + cot y = sin x * sin y sin (y - x) cot x - cot y = sin x * sin y x + y x - y cos x + cos y = 2cos *cos 2 2 x + y x - y cos x - cos y = - 2sin *sin 2 2 Quadrantenbeziehungen I II III IV
x 180° - x 180° + x 360° - x sin sin x sin x - sin x - sin x cos cos x - cos x - cos x cos x tan tan x - tan x tan x - tan x cot cot x - cot x cot x - cot x Sinussatz der ebenen Trigonometrie Satz: In jedem ebenen Dreieck ist das Verhältnis der Sinus zweier Winkel gleich dem dem Verhältnis der gegenüberliegenden Seiten. x:= alpha y:= beta z:= gama R:= Radius des Umkreises a b c = = = 2 R sin x sin y sin z
Der Kosinussatz In jedem ebenen Dreieck ist das Quadrat einer Seite gleich der Summe der Quadrate der anderen beiden Seiten vermindert um das doppelte Produkt aus diesen Seiten und dem Kosinus des (von diesen Seiten) eingeschlossenen Winkels. c² = a² + b² -2ab * cos z a² = b² + c² -2bc * cos x b² = a² + c² -2bc * cos y Kosinusformeln a = b cos z + c cos y b = a cos z + b cos x Projektionssatz c = a cos y + b cos x Tangensformeln a sin y tan x = c - a cos y a sin z tan x = b - a cos z
b sin z tan y = a - b cos z b sin x tan y = c - b cos x c sin y tan z = a - c cos y c sin x tan z = b - c cos x Mollweidsche Formeln (Karl Mollweide 1744 - 1825, Mathemat. u Astronom) x y - z (b + c) * sin = a cos 2 2 y z - x (a + c) * sin = b cos 2 2 z x - y (a + b) * sin = c cos 2 2 x y - z (b - c) * cos = a sin 2 2 y z - x (c - a) * cos = b sin 2 2 z x - y (a - b) * cos = c sin 2 2 Nepersche Gleichungen (J.Neper engl. Mathemat. 1550-1617) x + y a + b tan 2 = x - y a - b tan 2 y + z b + c tan 2 = y - x b - c tan 2 |