Faktorenzerlegung großer Zahlen

Faktorenzerlegung großer Zahlen

3.) Faktorenzerlegung à la Monte Carlo :

Bei der Methode von J. M. Pollard ist es nicht immer möglich bei einer teilbaren Zahl einen Faktor zu finden. Die Suche wird zu einem Glücksspiel. Man untersucht ob es von einer natürlichen Zahl N und einer errechneten Zahl P einen größten gemeinsamen Teiler gibt. P bekommt man, indem zwei neue Variablen (x , y ) einführt, für welche gilt : f(x)=x²+c (c=0;2 ) x x²+c ; y (y²+c)²+c »»»» P_²=P₁·( y - x )

Als Startwert für x , y , und P wird 1 verwendet.

1.Schritt:

Setze x=1 ;y=1 ;P=1

2.Schritt: 38453yep94fyy6j

Setze x = x²+c ; y = (y²+c)²+c und P_²=P₁·( y - x )

3.Schritt:

Berechne den ggT von P und N. Fals das Ergebnis = 1 ist , Wiederhole den Vorgang ab dem Schritt 2 .

Bei allen anderen Ergebnissen hat man mit dem ggT den gesuchten Teiler gefunden . ey453y8394fyyy

!Achtung!:

• Bei Schritt 2 entstehen für die Variablen x, y und P große Werte. Man muß daher die Ergebnisse

modulo N nehmen .

• Fals N selbst der Teiler ist, gibt es zwei Möglichkeiten:

• N ist eine Primzahl

• Man kann die Konstante c verändern (z.B.:von 1 auf 2,3,...)

• Wenn einem die Berechnung des Schrittes 3 zu Zeitaufwendig ist, kann man dies umgehen, indem

man erst nach z.B.: 10 -maliger Wiederholung des 2. Schrittes mit dem 3.Schritt beginnt .(Nur sehr

seltener Verlust des Teilers ) .

Hier ein Programmierbeispiel in Q-Basic :

1. CLS:CLEAR: X=1: Y=1: P=1: T=1 ‘ **** Programm zur Faktorenzerlegung von MEISEL Marcus ****

2. INPUT “zu teilende Zahl (N): ”;N : MO=N: INPUT “Konstante C: ”; C: CLS

3. X=X²+C: GOSUB 9: Y=(Y²+C)²+C: GOSUB 10: P=P*(Y-X):GOSUB 11: V=V+1: IF V>=25 THEN V=25

4. LOCATE 10,0:PRINT “X Y P”:LOCATE 10,V:PRINT X;:LOCATE 23,V:PRINT Y;: LOCATE 36,V:PRINT P;

5. IF P=0 THEN GOTO 19

6. IF P=1 THEN GOTO 3

7. INPUT “”;I:GOTO 12

8. GOTO 3

9. X=X-(INT(X/MO))*MO:RETURN

10. Y=Y-(INT(Y/MO))*MO:RETURN

11. IF ABS ( P ) < > P THEN P= N - ABS ( P ) : P=P - ( INT ( P / MO ) ) * MO : RETURN

12. ‘ *****ggT --ausrechnen

13. TE = P

14. RE = N - ( INT ( N / TE ) ) * TE: IF RE=1 THEN T=1: GOTO 3

15. IF RE=0 THEN T=TE: GOTO 17

16. N=TE:TE=RE:GOTO 14

17. ‘ *****die Lösung

18. CLS:LOCATE 1,1:PRINT “Zahl ”;MO;“ u. ”;P;“ sind durch ”;T;“ Teilbar.”;:BEEP:INPUT”“ ;I:GOTO1

19. ‘ *****eine Primzahl

20. CLS:LOCATE 1,1:PRINT “Zahl ”;MO;“ist eine Primzahl! -oder ein anderes !!c!! prob.”;:BEEP:INPUT”“ ;I

21. GOTO1 ‘ ***** ENDE dieses ©Programs

Hier ein RechenBeispiel:

N=143 => X Y P

c=1 1 1 1

2 5 3

5 105 14

26 83 83

105 105 0=> Primzahl oder c anders wählen z.B.: c=2

N=143

c=2

=> X Y P

3 11 8

11 116 125

123 115 142

116 38 65 ggT(65,143)=13 =>13/143

Antwort : 143 ist durch 13 teilbar.

4.) Weitere Algorithmen :

• Ein weiterer Algorithmus von J. M. Pollard:

Es wird ein Teiler p von einer Zahl N gesucht. Er ist gefunden, wenn

gilt : p-1 ist nur durch kleine Primfaktoren teilbar. Auf diesen

Rechengang wird in dem Artikel von Williams näher eingegangen.

• Der SQUFOF-Algorithmus von D. Shanks:

Hierfür benötigt man die Theorie der Ideale in quadratischen

Zahlkörpern.Näheres : siehe Artikel von Williams.