DIE GANZE WAHRHEIT referat

DIE GANZE WAHRHEIT

1) Ellipse

Skizze

1. Hauptlage:	2. Hauptlage:

A, B ... Hauptscheitel B AB = 2a ... Hauptachse C, D ... Nebenscheitel B CD = 2b ... Nebenachse F₁, F₂ ... Brennpunkte B F₁F₂ = 2e B MF₁ = MF₂ = e ... Brennweite,lineare Exzentrizität l₁, l₂ ... Leitstrecken M (0\|0) ... Mittelpunkt	a² = b² + e²

Definition

Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte, für die die Summe der Abstände zu 2 festen Punkten, den Brennpunkten, konstant 2a ist.

B B

ell = {X | XF₁ + XF₂ = 2a} = {X | l₁ + l₂ = 2a} 14235mjd28mky3g

Spezialfälle

a) a = b => e = 0; b = a = r; F₁ = F₂ = M Kreis

b) e = b Gleichseitige Ellipse

c) e konst (selbe Brennpunkte) Konfokale Ellipse jk235m4128mkky

je größer b, desto größer a

Konstruktion

Punkte A, B, C, D, M, F₁ und F₂ einzeichnen
Rechteck MBEC zeichnen
die Normale auf die Gerade (B,C) durch E zeichnen à M_B und M_C Mittelpunkte der Schmiegekreise, durch Spiegelung M_A und M_D einzeichnen
neben Ellipse Strecke 2a zeichnen
mit Zirkel von F₁ Strecke in kritischen Bereich zwischen Schmiegekreisen abschlagen und bei 2a abtragen
(2a – abgetragener Strecke) von F₂ abschlagen à X₁, Spiegeln
sooft wiederholen, bis Ellipse zeichenbar

Gleichungen

Gleichung einer Ellipse in 1. Hauptlage:	Gleichung einer Ellipse in 2. Hauptlage:
b²x² + a²y² = a²b²	a²x² + b²y² = a²b²

Ableitung der Gleichung einer Ellipse in 1. Hauptlage

X (x|y) F₁ (-e|0) F₂ (e|0)

XF₁ = Ö[(-e – x)² + (-y)²] = Ö (e² + 2ex + x² + y²)

XF₂ = Ö [(e – x)² + (-y)²] = Ö (e² – 2ex + x² + y²)

B B

XF₁ + XF₂ = 2a

Ö (e² + 2ex + x² + y²) + Ö (e² – 2ex + x² + y²) = 2a | - Ö

Ö (e² + 2ex + x² + y²) = 2a - Ö (e² – 2ex + x² + y²) | ²

e² + 2ex + x² + y² = 4a² – 4aÖ (e² – 2ex + x² + y²) + e² – 2ex + x² + y²

4ex – 4a² = -4aÖ (e² – 2ex + x² + y²) | :4

ex – a² = -aÖ (e² – 2ex + x² + y²) | ²

e²x² – 2a²ex + a⁴ = a²e² - 2a²ex + a²x² + a²y² | – e²x² – a²e²

a⁴ – a²e² = a²x² – e²x² + a²y²

a²(a² – e²) = x²(a² – e²) + a²y²

a² – e² = b²

b²x² + a²y² = a²b² | :a²b²

Berührbedingung

geg.: g: y = kx + d

Ellipse in 1. Hauptlage: a²k² + b² = d²

2. Hauptlage: b²k² + a² = d²

Kreis in Ursprungslage: r²(1 + k²) = d² a² = b² = r²

allgemeiner Lage r²(1 + k²) = (uk – v + d)²

Ableitung der Berührbedingung einer Ellipse in 1. Hauptlage

geg.: ell: b²x² + a²y² = a²b²

g: y = kx + d

g Ç ell:

b²x² + a²(kx + d)² = a²b²

b²x² + a²k²x² + 2a²dkx + a²d² = a²b²

x²(b² + a²k²) + x(2a²dk) + a²d² – a²b² = 0

(b² + a²k²)x² + (2a²dk)x + (a²d² – a²b²) = 0 | :(b² + a²k²)

D = a²k² + b² – d²

D > 0 2 Lösungen Sekante

D = 0 1 Lösung Tangente

D < 0 0 Lösungen Passante

Tangentengleichung und Polarengleichung

geg.: Ellipse

T (x₁|y₁) Î ell à Tangente t durch T

P (x₁|y₁) Ï ell à Polare p

Die Polare p geht durch die Schnittpunkte T₁ und T₂ (Tangenten durch P Ç Ellipse)

Ellipse in 1. Hauptlage:	Ellipse in 2. Hauptlage:
b²xx₁ + a²yy₁ = a²b²	a²xx₁ + b²yy₁ = a²b²

2) Hyperbel

Skizze

1. Hauptlage:	2. Hauptlage:

A, B ... Hauptscheitel B AB = 2a ... Hauptachse C, D ... Nebenscheitel B CD = 2b ... Nebenachse F₁, F_{2 B F₁F₂ = 2e B MF₁ = MF₂ = e ... Brennweite,lineare Exzentrizität l₁, l₂ ... Leitstrecken M (0\|0) ... Mittelpunkt u, v ... Asymptoten der Hyperbel M_A, M_B ... Mittelpunkte der Schmiegekreise}

Definition

Eine Hyperbel ist die Menge aller Punkte, für die die Differenz der Abstände zu 2 festen Punkten, den Brennpunkten, konstant 2a ist.

B B

hyp = {X | XF₁ – XF₂ = 2a} = {X | |l₁ – l₂| = 2a}

Spezialfälle

a) a = b => e = aÖ2

b) e konst (selbe Brennpunkte) Konfokale Hyperbeln

Konstruktion

Punkte A, B, C, D, M, F₁ und F₂ einzeichnen
Rechteck MBEC zeichnen
Asymptoten einzeichnen
die Normale auf die Asymtote (M,E) durch E zeichnen à M_B Mittelpunkte des Schmiegekreises des rechten Hyperbelastes, durch Spiegelung M_A einzeichnen
neben Hyperbel Strecke 2a zeichnen
mit Zirkel von F₁ Strecke bis außerhalb des Schmiegekreises abschlagen und bei 2a abtragen
(abgetragener Strecke – 2a) von F₂ abschlagen à X₁, Spiegeln
sooft wiederholen, bis Hyperbel zeichenbar

Gleichungen

Gleichung einer Hyperbel in 1. Hauptlage:	Gleichung einer Hyperbel in 2. Hauptlage:
B²x² - a²y² = a²b²	-a²x² + b²y² = a²b²

Ableitung der Gleichung einer Hyperbel in 1. Hauptlage

X (x|y)

Linker Ast:

B B

XF₁ – XF₂ = -2a

Ö[(-e-x)²+y²] – Ö[(e-x)²+y²] = -2a

Ö(e²+2ex+x²+y²) = Ö(e²–2ex+x²+y²) – 2a | ²

e²+2ex+x²+y² = e²-2ex+x²+y²-4aÖ[(e-x)²+y²] +4a²

4ex – 4a² = -4a Ö(e² – 2ex + x² + y²) | :4 | ²

e²x² – 2a²ex + a⁴ = a²(e² – 2ex + x² + y²)

rechter Ast:

B B

XF₁ – XF₂ = 2a

Ö[(-e-x)²+y²] – Ö[(e-x)²+y²] = 2a

Ö(e²+2ex+x²+y²) = Ö(e²–2ex+x²+y²) + 2a | ²

e²+2ex+x²+y² = e²-2ex+x²+y²+4aÖ[(e-x)²+y²] +4a²

4ex – 4a² = 4a Ö(e² – 2ex + x² + y²) | :4 | ²

e²x² – 2a²ex + a⁴ = a²(e² – 2ex + x² + y²)

e²x² – 2a²ex + a⁴ = a²e² – 2a²ex + a²x² + a²y²

e²x² – a²x² – a²y² = a²e² – a⁴

x²(e² – a²) – a²y² = a²(e² – a²)

e² – a² = b²

b²x² – a²y² = a²b² | :a²b²

Berührbedingung

geg.: g: y = kx + d

Hyperbel in 1. Hauptlage: d² + b² - a²k² = 0

2. Hauptlage: d² - a² + b²k² = 0

Ableitung der Berührbedingung einer Hyperbel in 1. Hauptlage

geg.: hyp: b²x² - a²y² = a²b²

g: y = kx + d

g Ç hyp:

b²x² - a²(kx + d)² = a²b²

b²x² - a²k²x² - 2a²dkx - a²d² = a²b²

x²(b² - a²k²) - x(2a²dk) - a²d² - a²b² = 0

(b² - a²k²)x² - (2a²dk)x + (-a²d² – a²b²) = 0 | :(b² - a²k²)

D = -a²k² + b² + d²

D > 0 2 Lösungen Sekante

D = 0 1 Lösung Tangente

D < 0 0 Lösungen Passante

(b² - a²k²) ¹ 0

Spezialfall:

b² - a²k² = 0

b² = a²k²

k² =

k = ±

d = 0 d ¹ 0

y = ±x y = ±+ d

Asymptote || Asymptote

Asymptote:

0x² - 0x – a²b² = 0 f.A.

L = {}

|| Asymptote:

0x² + ... + a²b² = 0

¹0 1Lös

Þ Jede Parallele zu einer Asymptote schneidet die Hyperbel genau 1x.

Tangentengleichung und Polarengleichung

geg.: Hyperbel

T (x₁|y₁) Î hyp à Tangente t durch T

P (x₁|y₁) Ï hyp à Polare p

Hyperbel in 1. Hauptlage:	Hyperbel in 2. Hauptlage:
b²xx₁ - a²yy₁ = a²b²	-a²xx₁ + b²yy₁ = a²b²

3) Parabel

Skizze

1. Hauptlage:	2. Hauptlage:


3. Hauptlage:	4. Hauptlage:

F ... BrennpunktA ... Scheitel der Parabel Parabel LF = p ............. Parameter l ... Leitlinie a ...................... Achse

Definition

Eine Parabel ist die Menge aller Punkte, für die der Abstand zu einem festen Punkt F, dem Brennpunkt, gleich dem Abstand zur Leitlinie ist.

B B

par = {X | XF = Xl}

Konstruktion

Punkte A, F und L einzeichnen
M_A Mittelpunkt des Scheitelkrümmungskreises einzeichnen (Abstand von F = )
Hilfslinien parallel zur Leitlinie einzeichnen
Strecke von Leitlinie zu einer Hilfslinie in Zirkel nehmen und von F abschlagen
sooft wiederholen, bis Parabel zeichenbar

Gleichungen

Gleichung einer Parabel in 1. Hauptlage:	Gleichung einer Parabel in 2. Hauptlage:
y² = 2px	x² = 2py

Gleichung einer Parabel in 3. Hauptlage:	Gleichung einer Parabel in 4. Hauptlage:
y² = -2px	x² = -2py

Gleichung der Leitlinie in 1. Hauptlage:	Gleichung der Leitlinie in 2. Hauptlage:
l = -x	l = -y

Gleichung der Leitlinie in 3. Hauptlage:	Gleichung der Leitlinie in 4. Hauptlage:

l = x

l = y

Ableitung der Gleichung einer Parabel in 1. Hauptlage

X (x|y)

B B

XF = Xl

|| = Ö[(x - )² + y²] = d

Xl:

= 0 HNF

x + = d

Ö[(x - )² + y²] = x + | ²

x² - px -+ ()² + y² = x² + px + ()²

y² = 2px

Berührbedingung

geg.: g: y = kx + d

Parabel in 1. Hauptlage: p = 2kd

2. Hauptlage: k²p = -2d

3. Hauptlage: p = -2kd

4. Hauptlage: k²p = 2d

Ableitung der Berührbedingung einer Parabel in 1. Hauptlage

geg.: par: y² = 2px

g: y = kx + d

g Ç par:

k²x² + 2dkx + d² = 2px

k²x² + (2dk - 2p)x + d² = 0 | :k² ¹ 0

D = p² - 2kdp

p(p – 2kd) = 0

p = 2kd

D > 0 2 Lösungen Sekante

D = 0 1 Lösung Tangente

D < 0 0 Lösungen Passante

k² ¹ 0

Spezialfall:

k² = 0

k = 0

Þ y = d || x-Achse

2px = d²

1 Lösung

Þ Jede Parallel zur x-Achse schneidet die Parabel genau 1x.

Tangentengleichung und Polarengleichung

geg.: Hyperbel

T (x₁|y₁) Î hyp à Tangente t durch T

P (x₁|y₁) Ï hyp à Polare p

par: y² = 2px

yy = px + px

Parabel in 1. Hauptlage:	Parabel in 2. Hauptlage:
yy₁ = p(x + x₁)	xx₁ = p(y + y₁)
Parabel in 3. Hauptlage:	Parabel in 4. Hauptlage:
yy₁ = -p(x + x₁)	xx₁ = -p(y + y₁)

Konstruktion einer Tangente

4) Komplexe Zahlen

Das Symbol „i“

x² = a G = R

a > 0 L = {Öa]; -Öa}

a = 0 L = {0⁽²⁾}

a < 0 L = {}

Þ $ C ... Menge der komplexen Zahlen

x² = -1

x² = (-1)

x₁₂ = ± Ö(-1)