Stetige ZufallsvariableX heißt stetige Zufallsvariable, genau dann, wenn Wx überabzählbar unendlich ist und eine nichtnegative integrierbare Funktion fx existiert mit b P(a £ X £ b) = òf(x)dx für alle a,b Î Â mit a £ b. a 23455ruv69yqr7r Satz von De Moivre-Laplace: Xn seien binominalverteilte Zufallsvariablen mit den Parametern n und p, 0 < p < 1, n= 1,2,3,.... Dann gilt für beliebige endliche Intervalle [u,v] für die standardisierten Zufallsvariablen Xn* = (Xn – np)/ Ö[np (1 – p)] : uq455r3269yqqr v 2 lim P(u £ Xn* £ v) = 1/Ö(2p) × ò e –0,5 x dx . n® ¥ u 23455ruv69yqr7r Definition (Standardnormalverteilung): Eine Zufallsvariable Z, für welche die Wahrscheinlichkeiten P(a £ Z £ b) für alle a und b mit b b 2 a £ b durch P(a £ Z £ b) = ò j(z) dz = 1/Ö(2p) × ò e –0,5 z dz a a 23455ruv69yqr7r erklärt sind, heißt standardnormalverteilt oder auch N(0;1)-verteilt. Die Funktion j heißt Dichte der Zufallsvariablen Z.
23455ruv69yqr7r P(a < Z £ b) = P(a £ Z £ b) = P(a £ Z < b) = P(a < Z < b) = F(b) - F(a).
23455ruv69yqr7r P(Z ³ z) = P(Z > z) = 1 - F(z) für jedes z ÎÂ .
23455ruv69yqr7r Approximationseigenschaft: X sei binominalverteilt mit den Parametern n und p mit np(1-p) > 9. Dann gelten für die ganzzahligen Werte k, k1, k2 mit k1 < k2 die Näherungen P(k1 £ X £ k2) » F( (k2+ 0,5– np)/Ö[np(1-p)] ) - F( (k1- 0,5– np)/Ö[np(1-p)] ); P(Xn = k) » F( (k+ 0,5– np)/Ö[np(1-p)] ) - F( (k- 0,5– np)/Ö[np(1-p)] ); P(Xn £ k) » F( (k+ 0,5– np)/Ö[np(1-p)] ) .
23455ruv69yqr7r Die Zufallsvariable X besitze den Erwartungswert m = E(X) und die Varianz s2 = Var(X) . Falls ihre Standardisierung X* = [X – E(X)] / Ö Var(X) = (X-m)/s = Z N(0;1)-verteilt ist, heißt X normaverteilt oder N(m;s)-verteilt. 23455ruv69yqr7r Die Zufallsvariable X sei N(m;s)-verteilt. Dann gilt: F(X) = P(X £ x) = F((x-m)/s) (Verteilungsfunktion); 2 2 f(x) = e-(x-m) / (2s ) × 1/ Ö(2ps2) (Dichte); P(a £ X £ b) = F((b-m)/s) - F((a-m)/s). Dabei ist F die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Es sei X eine N(m;s)-verteilte Zufallsvariable. Dann ist für beliebig reelle Zahlen a,b Î Â, a¹0 die Zufallsvariable a×X + b normalverteilt, nämlich N(am+b ; |a|×s)-verteilt. X sei N(m1;s1)-verteilt und Y sei N(m2;s2)-verteilt. Außerdem seien X und Y unabhängig. Dann ist die Summe X + Y wieder normalverteilt. Zentraler Grenzwertsatz: Es seien X1, X2, X3, ....,Xn unabhängige Zufallsvariablen, die alle die gleiche Verteilungsfunktion, den gleichen Erwartungswert m und die gleiche Varianz s2 besitzen. Dann ist für große n die Summenvariable Yn = X1 + X2 + X3 +.....+ Xn näherungsweise normalverteilt, nämlich N(n×m;Ön × s)-verteilt. Über die Standardisierung erhält man somit P(Yn £ x) »F((x-nm)/(Ön × s)). Die Zufallsvariable X besitze die Dichte l× e-lx, l>0 für x ³ 0 f(x) = 0 für x < 0. Dann heißt X exponentialverteilt mit dem Parameter l. P(a £ X £ b) = F(b) – F(a) = e-l a – e-l b für a £ b. Satz: Für eine mit dem Parameter l > 0 exponentialverteilte Zufallsvariable X gilt E(X) = 1/l; Var(X) = 1/l2 . |