Ellipse

Komplexe Zahlen

1) Das Symbol „i“:

x² = a G = R

a) a > 0

L={Ö[a]; -Ö[a]}

b) a = 0 12948ijk37igv7j

L={0⁽²⁾ }

c) a < 0

L={}

Þ C ........................ komplexe Zahlen jg948i2137iggv

x² = -a ; a>0

x² = a (-1)

x_1,2= ± Ö[a] Ö[-1]

L={Ö[a]i ; -Ö[a]i}

Definition: Ö[-1] = i

Ö[-1] = i

i² = (Ö[-1])²

i² = -1

Vorsicht: (Ö[-1])²=-1 ¹ Ö[(-1)²]=1

ax²+bx+x=0 a,b,c Î R; a¹0 ......... allg. quadratische Gleichung

x_1,2= ^{[-b±Ö[b²-4ac]]} /_[2a] = - ^[b] /_[2a] ± ^{[Ö[b²-4ac]]} /_[2a]

G = C

a) D = b²-4ac > 0

L={- ^[b] /_[2a] + ^{[Ö[b²-4ac]]} /_[2a] ; - ^[b] /_[2a] - ^{[Ö[b²-4ac]]} /_[2a]}

b) D = 0

L={- ^[b] /_[2a] ⁽²⁾ }

c) D < 0

Þ 4ac-b² > 0

L={- ^[b] /_[2a] + ^{[Ö[4ac-b²]]} /_[2a] ; - ^[b] /_[2a] - ^{[Ö[4ac-b²]]} /_[2a]}

allgemeine komplexe Zahl:

Z = a + b i a,b Î R

a = Re (Z) b = Im (Z)

a) b=0 Þ Z=a+0i ..... reelle Zahl

b) a=0 Þ Z=0+bi ..... imaginäre Zahl

Gleichheit von komplexen Zahlen:

Z1 = a+bi

Z2 = c+di

Z1 = Z2 Û (a=c) Ù (b=d)

2) Rechenregeln für komplexe Zahlen:

Z1 = a + b i Z2 = c + d i

Addition:

Z1 + Z2 = a+bi+c+di = (a+c) + (b+d)i

Subtraktion:

Z1 - Z2 = (a-c) + (b-d)i

Multiplikation:

Z1 * Z2 = (a+bi) (c+di) = ac+adi+bci+bdi² = (ac-bd) + (bc+ad)i

Division:

Z1 : Z2 = [Z1]/[Z2] = ^[a+bi] /_[c+di] = ^[a+bi] /_[c+di] ^[c-di] /_[c-di] = ^{[ac+bci-adi-bdi²]} /_[c²+d²] =

= ^{[(ac+bd)+(bc-ad)i]} /_[c²+d²] = ^[ac+bd] /_[c²+d²] + ^[bc-ad] /_[c²+d²] i

c²+d² > 0 , sonst c=0,d=0 Þ Z2=0

Konjugiert komplexe Zahlen:

Z = a + b i Z^- = a - b i

Potenzen von i:

i¹ = i

i² = -1

i³ = i² * i = -1 * i = -i

i⁴ = i² * i² = (-1) * (-1) = 1

Eigenschaften von konjugiert komplexen Zahlen:

Z + Z^- = 2a

Z - Z^- = 2bi

Z * Z^- = a² + b²

(Z^-)^- = Z

Für komplexe Zahlen gilt auch der Satz von VIETA:

z²+pz+q=0 p,q Î C

mit Lösungen z1,z2

a) z1 + z2 = -p

b) z1 * z2 = q

c) z²+pz+q = (z-z1) (z-z2)

3) Veranschaulichung von komplexen Zahlen in der GAUSSschen Zahlenebene:

R ................. reelle Achse

Im ............... imaginäre Achse

z = a + bi

z1 = 4 - 2i

z1^- = 4 + 2i .......... um R-Achse spiegeln

z2 = 1 + 2i

z1 +z2 = 5

z1 - z2 = z1 + (-z2) = 3 - 4i

Jede komplexe Zahl läßt sich eindeutig als Vektor in der GAUSSschen Zahlenebene darstellen.

| z | = Ö[a²+b²] = r Î R .......... Radius

| z |² = | z² |

4) Darstellungsmöglichkeiten komplexer Zahlen:

a) z = a + bi

b) z = (a;b)

c) z = (r;j)

Polarkoordinaten:

r=Ö[a²+b²]

0<j<360°

r ..... Betrag von z

j .... Argument von z

d) tan j = b/a

cos j = a/r

a = r cos j

sin j = b/r

b = r sin j

z = a + bi = r cos j + r sin j i = r (cos j + i sin j)

Darstellungsmöglichkeiten komplexer Zahlen:

1) kartesische Darstellung:

a) Zahlenpaar z = (a;b)

b) Binomialform z = a + bi

2) Polarkoordinatendarstellung:

a) Zahlenpaar z = (r; j)

b) trigonometrische Darstellung z = r (cos j + i sin j)

Multiplikation und Division komplexer Zahlen mit Hilfe von Polarkoordinaten:

z1 = r1 (cos j1 + i sin j1)

z2 = r2 (cos j2 + i sin j2)

z1 * z2 = r1 (cos j1 + i sin j1) r2 (cos j2 + i sin j2) =

= r1 * r2 (cos j1 cos j2 - sin j1 sin j2 + cos j1 sin j2 i + sin j1 cos j2 i) =

= r1 * r2 [ (cos j1 cos j2 - sin j1 sin j2) + i (cos j1 sin j2 + cos j2 sin j1) ] =

= r1 * r2 [cos (j1+j2) + i sin (j1+j2)]

z1 * z2 = (r1; j1) (r2; j2) = (r1*r2; j1+j2)

Beim Multiplizieren von komplexen Zahlen werden die Radien multipliziert und die Winkel addiert.

z1/z2 = ^{[r1 (cos j1 + i sin j1)]} /_{[r2 (cos j2 + i sin j2)]} =

= ^{[r1 (cos j1 + i sin j1) (cos j2 - i sin j2)]} /_{[r2 (cos j2 + i sin j2) (cos j2 - i sin j2)]} =

= ^{[r1 (cos j1 cos j2 + i sin j1 cos j2 - i sin j2 cos j1 - i² sin j1 sin j2)]} /_{[r2 (cos² j2 + sin² j2)]} =

= ^{[r1 [(cos j1 cos j2 + sin j1 sin j2) + i (sin j1 cos j2 - cos j1 sin j2)]]} /_{[r2 (cos² j2 + sin² j2)]} =

= r1/r2 [cos (j1-j2) + i sin (j1-j2)]

z1/z2 = (r1; j1)/(r2; j2) = (r1/r2; j1-j2)

Beim Dividieren von komplexen Zahlen werden die Radien dividiert und die Winkel subtrahiert.