Die Kurvendiskussion

 

 

Die 27467qtz48lvm9d Kurvendiskussion

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

Thomas 27467qtz48lvm9d Kern, 27467qtz48lvm9d Emil 27467qtz48lvm9d Ljiutic, 27467qtz48lvm9d Christoph 27467qtz48lvm9d Auinger

27467qtz48lvm9d

Sinn 27467qtz48lvm9d und 27467qtz48lvm9d Zweck 27467qtz48lvm9d einer 27467qtz48lvm9d Kurvendiskussion

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

Eine 27467qtz48lvm9d Kurvendiskussion 27467qtz48lvm9d versucht 27467qtz48lvm9d etwas 27467qtz48lvm9d über 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d Eigenschaften 27467qtz48lvm9d einer 27467qtz48lvm9d Funktion 27467qtz48lvm9d herauszufinden, 27467qtz48lvm9d ohne 27467qtz48lvm9d dass 27467qtz48lvm9d man 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d Funktion 27467qtz48lvm9d dafür 27467qtz48lvm9d zeichnen 27467qtz48lvm9d muss. 27467qtz48lvm9d Die 27467qtz48lvm9d Kurvendiskussion 27467qtz48lvm9d liefert 27467qtz48lvm9d einem 27467qtz48lvm9d Aussagen 27467qtz48lvm9d über 27467qtz48lvm9d das 27467qtz48lvm9d Verhalten 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Funktion, 27467qtz48lvm9d so 27467qtz48lvm9d dass 27467qtz48lvm9d man 27467qtz48lvm9d den 27467qtz48lvm9d Graphen 27467qtz48lvm9d danach 27467qtz48lvm9d besser 27467qtz48lvm9d zeichnen 27467qtz48lvm9d kann. 27467qtz48lvm9d Wenn 27467qtz48lvm9d man 27467qtz48lvm9d eine 27467qtz48lvm9d Wertetabelle 27467qtz48lvm9d erstellt, 27467qtz48lvm9d bekommt 27467qtz48lvm9d man 27467qtz48lvm9d eine 27467qtz48lvm9d bestimmte 27467qtz48lvm9d Anzahl 27467qtz48lvm9d von 27467qtz48lvm9d Punkten 27467qtz48lvm9d des 27467qtz48lvm9d Funktionsgraphen. 27467qtz48lvm9d Mit 27467qtz48lvm9d diesen 27467qtz48lvm9d verbindet 27467qtz48lvm9d man 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d Hoffnung, 27467qtz48lvm9d dass 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d Funktion 27467qtz48lvm9d auch 27467qtz48lvm9d so 27467qtz48lvm9d verläuft. 27467qtz48lvm9d Hat 27467qtz48lvm9d man 27467qtz48lvm9d aber 27467qtz48lvm9d zum 27467qtz48lvm9d Beispiel 27467qtz48lvm9d eine 27467qtz48lvm9d Definitionslücke 27467qtz48lvm9d übersehen, 27467qtz48lvm9d zeichnet 27467qtz48lvm9d man 27467qtz48lvm9d etwas 27467qtz48lvm9d Falsches. 27467qtz48lvm9d Die 27467qtz48lvm9d Kurvendiskussion 27467qtz48lvm9d löst 27467qtz48lvm9d dieses 27467qtz48lvm9d Problem, 27467qtz48lvm9d denn 27467qtz48lvm9d richtig 27467qtz48lvm9d durchgeführt 27467qtz48lvm9d gibt 27467qtz48lvm9d sie 27467qtz48lvm9d einem 27467qtz48lvm9d alle 27467qtz48lvm9d Informationen 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d man 27467qtz48lvm9d haben 27467qtz48lvm9d muss. 27467qtz48lvm9d

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

1. 27467qtz48lvm9d Definitionsmenge 27467qtz48lvm9d

27467qtz48lvm9d

Zuerst 27467qtz48lvm9d muss 27467qtz48lvm9d man 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d Definitionsmenge 27467qtz48lvm9d bestimmen. 27467qtz48lvm9d Bei 27467qtz48lvm9d ganzrationalen 27467qtz48lvm9d Funktionen 27467qtz48lvm9d ist 27467qtz48lvm9d dies 27467qtz48lvm9d einfach, 27467qtz48lvm9d bei 27467qtz48lvm9d gebrochen 27467qtz48lvm9d rationalen 27467qtz48lvm9d Zahlen 27467qtz48lvm9d ist 27467qtz48lvm9d auf 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d Nullstellen 27467qtz48lvm9d des 27467qtz48lvm9d Nenners 27467qtz48lvm9d zu 27467qtz48lvm9d achten. 27467qtz48lvm9d

27467qtz48lvm9d

2. 27467qtz48lvm9d Symmetrie 27467qtz48lvm9d zum 27467qtz48lvm9d Koordinatensystem

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

Die 27467qtz48lvm9d Symmetrie 27467qtz48lvm9d zum 27467qtz48lvm9d Koordinatensystem 27467qtz48lvm9d ist 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d wie 27467qtz48lvm9d folgt 27467qtz48lvm9d zu 27467qtz48lvm9d untersuchen:

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

• Ist 27467qtz48lvm9d f(-x) 27467qtz48lvm9d = 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d f(x) 27467qtz48lvm9d so 27467qtz48lvm9d ist 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Graph 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Funktion 27467qtz48lvm9d achsensymmetrisch 27467qtz48lvm9d zur 27467qtz48lvm9d y-Achse.

• Ist 27467qtz48lvm9d f(x) 27467qtz48lvm9d = 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d - 27467qtz48lvm9d f(-x) 27467qtz48lvm9d so 27467qtz48lvm9d ist 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Graph 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Funktion 27467qtz48lvm9d punktsymmetrisch 27467qtz48lvm9d zum 27467qtz48lvm9d Ursprung 27467qtz48lvm9d also 27467qtz48lvm9d (0|0).

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

3. 27467qtz48lvm9d Nullstellen

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

Die 27467qtz48lvm9d Nullstellen 27467qtz48lvm9d einer 27467qtz48lvm9d Funktion 27467qtz48lvm9d f 27467qtz48lvm9d sind 27467qtz48lvm9d ganz 27467qtz48lvm9d allgemein 27467qtz48lvm9d durch 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d Lösungen 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Gleichung

 

f(x) 27467qtz48lvm9d = 27467qtz48lvm9d 0

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

gegeben. 27467qtz48lvm9d Sie 27467qtz48lvm9d entsprechen 27467qtz48lvm9d jenen 27467qtz48lvm9d Punkten, 27467qtz48lvm9d an 27467qtz48lvm9d denen 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Graph 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d x-Achse 27467qtz48lvm9d schneidet. 27467qtz48lvm9d

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

4. 27467qtz48lvm9d Steigung 27467qtz48lvm9d des 27467qtz48lvm9d Funktionsgraphen

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

Mit 27467qtz48lvm9d Hilfe 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Ableitungsfunktion 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d f’ 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d kann 27467qtz48lvm9d man 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d Steigung 27467qtz48lvm9d des 27467qtz48lvm9d Graphen 27467qtz48lvm9d von 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d f 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d untersuchen. 27467qtz48lvm9d Dazu 27467qtz48lvm9d sei 27467qtz48lvm9d im 27467qtz48lvm9d Folgenden 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d f 27467qtz48lvm9d als 27467qtz48lvm9d stetig 27467qtz48lvm9d (d.h. 27467qtz48lvm9d ihr 27467qtz48lvm9d Graph 27467qtz48lvm9d ist 27467qtz48lvm9d eine 27467qtz48lvm9d zusammenhängende 27467qtz48lvm9d Linie) 27467qtz48lvm9d differenzierbar 27467qtz48lvm9d vorausgesetzt. 27467qtz48lvm9d

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

Ist 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d f’(x₀)>0, 27467qtz48lvm9d dann 27467qtz48lvm9d ist 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d f 27467qtz48lvm9d in 27467qtz48lvm9d einer 27467qtz48lvm9d Umgebung 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Stelle 27467qtz48lvm9d x₀ 27467qtz48lvm9d streng 27467qtz48lvm9d monoton 27467qtz48lvm9d steigend.

Ist 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d f’(x₀ 27467qtz48lvm9d <0, 27467qtz48lvm9d dann 27467qtz48lvm9d ist 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d f 27467qtz48lvm9d in 27467qtz48lvm9d einer 27467qtz48lvm9d Umgebung 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Stelle 27467qtz48lvm9d x₀ 27467qtz48lvm9d streng 27467qtz48lvm9d monoton 27467qtz48lvm9d fallend.

Ist 27467qtz48lvm9d f’(x₀)=0, 27467qtz48lvm9d dann 27467qtz48lvm9d hat 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d f 27467qtz48lvm9d an 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Stelle 27467qtz48lvm9d x₀ 27467qtz48lvm9d eine 27467qtz48lvm9d zur 27467qtz48lvm9d x-Achse 27467qtz48lvm9d parallele 27467qtz48lvm9d Tangente 27467qtz48lvm9d („waagrechte 27467qtz48lvm9d Tangente).

Ist 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d f’(x₀)=0, 27467qtz48lvm9d dann 27467qtz48lvm9d kann 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d f 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d in 27467qtz48lvm9d einer 27467qtz48lvm9d Umgebung 27467qtz48lvm9d von 27467qtz48lvm9d x₀ 27467qtz48lvm9d durchaus 27467qtz48lvm9d monoton 27467qtz48lvm9d steigend 27467qtz48lvm9d oder 27467qtz48lvm9d monoton 27467qtz48lvm9d fallend 27467qtz48lvm9d sein, 27467qtz48lvm9d es 27467qtz48lvm9d ist 27467qtz48lvm9d aber 27467qtz48lvm9d auch 27467qtz48lvm9d möglich, 27467qtz48lvm9d dass 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d Steigung 27467qtz48lvm9d ihr 27467qtz48lvm9d Vorzeichen 27467qtz48lvm9d ändert. 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

27467qtz48lvm9d

6. 27467qtz48lvm9d Extrema 27467qtz48lvm9d (Hochpunkte 27467qtz48lvm9d und 27467qtz48lvm9d Tiefpunkte)

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

Unter 27467qtz48lvm9d den 27467qtz48lvm9d Extremwerten 27467qtz48lvm9d oder 27467qtz48lvm9d Extrema 27467qtz48lvm9d versteht 27467qtz48lvm9d man 27467qtz48lvm9d den 27467qtz48lvm9d höchsten 27467qtz48lvm9d bzw. 27467qtz48lvm9d niedrigsten 27467qtz48lvm9d Punkt 27467qtz48lvm9d eines 27467qtz48lvm9d Funktionsgraphen. 27467qtz48lvm9d Relative 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d Extrema 27467qtz48lvm9d sind 27467qtz48lvm9d Extrema 27467qtz48lvm9d in 27467qtz48lvm9d einer 27467qtz48lvm9d bestimmten 27467qtz48lvm9d Umgebung. 27467qtz48lvm9d Die 27467qtz48lvm9d relativen 27467qtz48lvm9d Extremwerte 27467qtz48lvm9d im 27467qtz48lvm9d Inneren 27467qtz48lvm9d des 27467qtz48lvm9d Definitionsbereichs 27467qtz48lvm9d einer 27467qtz48lvm9d differenzierbaren 27467qtz48lvm9d Funktion 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d f 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d gehören 27467qtz48lvm9d zu 27467qtz48lvm9d Punkten 27467qtz48lvm9d mit 27467qtz48lvm9d waagrechten 27467qtz48lvm9d Tangenten. 27467qtz48lvm9d Die 27467qtz48lvm9d Bedingung 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d f’(x₀) 27467qtz48lvm9d = 27467qtz48lvm9d 0 27467qtz48lvm9d ist 27467qtz48lvm9d also 27467qtz48lvm9d notwendig 27467qtz48lvm9d dafür, 27467qtz48lvm9d dass 27467qtz48lvm9d x_{0 27467qtz48lvm9d} 27467qtz48lvm9d ein 27467qtz48lvm9d Extrempunkt 27467qtz48lvm9d ist. 27467qtz48lvm9d Diese 27467qtz48lvm9d Bedingung 27467qtz48lvm9d ist 27467qtz48lvm9d aber 27467qtz48lvm9d nicht 27467qtz48lvm9d hinreichend, 27467qtz48lvm9d d.h. 27467qtz48lvm9d es 27467qtz48lvm9d gibt 27467qtz48lvm9d Punkte 27467qtz48lvm9d mit 27467qtz48lvm9d waagrechter 27467qtz48lvm9d Tangente, 27467qtz48lvm9d welche 27467qtz48lvm9d nicht 27467qtz48lvm9d Extrempunkte 27467qtz48lvm9d sind. 27467qtz48lvm9d Ein 27467qtz48lvm9d Extrempunkt 27467qtz48lvm9d liegt 27467qtz48lvm9d vor, 27467qtz48lvm9d wenn 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d f’ 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d an 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Stelle 27467qtz48lvm9d x_{0 27467qtz48lvm9d} das 27467qtz48lvm9d Vorzeichen 27467qtz48lvm9d wechselt. 27467qtz48lvm9d Es 27467qtz48lvm9d sei 27467qtz48lvm9d im 27467qtz48lvm9d folgendem 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d f 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d zweimal 27467qtz48lvm9d stetig 27467qtz48lvm9d differenzierbar. 27467qtz48lvm9d

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

Ist 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d f’(x₀) 27467qtz48lvm9d = 27467qtz48lvm9d 0 27467qtz48lvm9d und 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d f’’(x₀) 27467qtz48lvm9d < 27467qtz48lvm9d 0, 27467qtz48lvm9d dann 27467qtz48lvm9d ist 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d f’ 27467qtz48lvm9d an 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Stelle 27467qtz48lvm9d x_{0 27467qtz48lvm9d} streng 27467qtz48lvm9d monoton 27467qtz48lvm9d fallend, 27467qtz48lvm9d es 27467qtz48lvm9d liegt 27467qtz48lvm9d also 27467qtz48lvm9d eine 27467qtz48lvm9d Maximalstelle 27467qtz48lvm9d vor. 27467qtz48lvm9d

Ist 27467qtz48lvm9d f’(x₀) 27467qtz48lvm9d = 27467qtz48lvm9d 0 27467qtz48lvm9d und 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d f’’(x₀) 27467qtz48lvm9d > 27467qtz48lvm9d 0, 27467qtz48lvm9d dann 27467qtz48lvm9d ist 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d f’ 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d an 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Stelle 27467qtz48lvm9d x_{0 27467qtz48lvm9d} streng 27467qtz48lvm9d monoton 27467qtz48lvm9d steigend, 27467qtz48lvm9d es 27467qtz48lvm9d liegt 27467qtz48lvm9d also 27467qtz48lvm9d ein 27467qtz48lvm9d Minimalstelle 27467qtz48lvm9d vor. 27467qtz48lvm9d

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

Für 27467qtz48lvm9d f’(x₀)=f’’(x₀)=0 27467qtz48lvm9d kann 27467qtz48lvm9d ein 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d Extremum 27467qtz48lvm9d oder 27467qtz48lvm9d ein 27467qtz48lvm9d Wendepunkt 27467qtz48lvm9d mit 27467qtz48lvm9d waagrechter 27467qtz48lvm9d Tangente 27467qtz48lvm9d vorliegen, 27467qtz48lvm9d solch 27467qtz48lvm9d einen 27467qtz48lvm9d Wendepunkt 27467qtz48lvm9d nenn 27467qtz48lvm9d man 27467qtz48lvm9d Sattelpunkt.

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

Beispiel:

y= 27467qtz48lvm9d x³ 27467qtz48lvm9d – 27467qtz48lvm9d 15x² 27467qtz48lvm9d + 27467qtz48lvm9d 48x 27467qtz48lvm9d -3

y’= 27467qtz48lvm9d 3x² 27467qtz48lvm9d – 27467qtz48lvm9d 30x 27467qtz48lvm9d + 27467qtz48lvm9d 48

y’’= 27467qtz48lvm9d 6x 27467qtz48lvm9d – 27467qtz48lvm9d 30

y’ 27467qtz48lvm9d null 27467qtz48lvm9d setzen: 27467qtz48lvm9d 3x² 27467qtz48lvm9d – 27467qtz48lvm9d 30x 27467qtz48lvm9d + 27467qtz48lvm9d 48 27467qtz48lvm9d = 27467qtz48lvm9d 0 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d L={8,2} 27467qtz48lvm9d

y’’(x_E1) 27467qtz48lvm9d = 27467qtz48lvm9d 6*8 27467qtz48lvm9d – 27467qtz48lvm9d 30 27467qtz48lvm9d > 27467qtz48lvm9d 0 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d → 27467qtz48lvm9d Minimum E1= 27467qtz48lvm9d [8; 27467qtz48lvm9d -67]

y’’(x_E2)= 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 6*2 27467qtz48lvm9d – 27467qtz48lvm9d 30 27467qtz48lvm9d < 27467qtz48lvm9d 0 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d → 27467qtz48lvm9d Maximum 27467qtz48lvm9d E2=[2; 27467qtz48lvm9d 41]

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

7. 27467qtz48lvm9d Krümmung 27467qtz48lvm9d des 27467qtz48lvm9d Funktionsgraphen 27467qtz48lvm9d

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

Ist 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d f’’(x₀)>0, 27467qtz48lvm9d dann 27467qtz48lvm9d ist 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d f 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d in 27467qtz48lvm9d einer 27467qtz48lvm9d Umgebung 27467qtz48lvm9d von 27467qtz48lvm9d x₀ 27467qtz48lvm9d linksgekrümmt 27467qtz48lvm9d oder 27467qtz48lvm9d eine 27467qtz48lvm9d Linkskurve. 27467qtz48lvm9d

Ist 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d f’’(x₀)<0, 27467qtz48lvm9d dann 27467qtz48lvm9d ist 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d f 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d in 27467qtz48lvm9d einer 27467qtz48lvm9d Umgebung 27467qtz48lvm9d von 27467qtz48lvm9d x_{0 27467qtz48lvm9d} rechtsgekrümmt 27467qtz48lvm9d oder 27467qtz48lvm9d eine 27467qtz48lvm9d Rechtskurve. 27467qtz48lvm9d

Ist 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d f’’(x₀)=0, 27467qtz48lvm9d dann 27467qtz48lvm9d kann 27467qtz48lvm9d ein 27467qtz48lvm9d Wendepunkt 27467qtz48lvm9d vorliegen, 27467qtz48lvm9d es 27467qtz48lvm9d kann 27467qtz48lvm9d aber 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d Kurve 27467qtz48lvm9d auch 27467qtz48lvm9d ihren 27467qtz48lvm9d Krümmungssinn 27467qtz48lvm9d behalten. 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

8. 27467qtz48lvm9d Wendepunkt 27467qtz48lvm9d des 27467qtz48lvm9d Funktionsgraphen 27467qtz48lvm9d

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

In 27467qtz48lvm9d einem 27467qtz48lvm9d Wendepunkt 27467qtz48lvm9d geht 27467qtz48lvm9d eine 27467qtz48lvm9d Linkskurve 27467qtz48lvm9d in 27467qtz48lvm9d eine 27467qtz48lvm9d Rechtskurve 27467qtz48lvm9d über 27467qtz48lvm9d oder 27467qtz48lvm9d umgekehrt, 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d zweite 27467qtz48lvm9d Ableitungsfunktion 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d f’’(x₀) 27467qtz48lvm9d ändert 27467qtz48lvm9d also 27467qtz48lvm9d ihr 27467qtz48lvm9d Vorzeichen. 27467qtz48lvm9d

Wendestellen 27467qtz48lvm9d einer 27467qtz48lvm9d Funktion 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d f 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d sind 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d Lösungen 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Gleichung 27467qtz48lvm9d

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

27467qtz48lvm9d f 27467qtz48lvm9d ’’(x) 27467qtz48lvm9d = 27467qtz48lvm9d 0

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

Man 27467qtz48lvm9d setzt 27467qtz48lvm9d wieder 27467qtz48lvm9d voraus, 27467qtz48lvm9d dass 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d Lösung 27467qtz48lvm9d „isoliert“ 27467qtz48lvm9d ist, 27467qtz48lvm9d d.h. 27467qtz48lvm9d dass 27467qtz48lvm9d es 27467qtz48lvm9d für 27467qtz48lvm9d jede 27467qtz48lvm9d Lösung 27467qtz48lvm9d ein 27467qtz48lvm9d Intervall 27467qtz48lvm9d (x-a, 27467qtz48lvm9d x+a) 27467qtz48lvm9d gibt 27467qtz48lvm9d (eine 27467qtz48lvm9d Umgebung 27467qtz48lvm9d von 27467qtz48lvm9d x), 27467qtz48lvm9d in 27467qtz48lvm9d dem 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d zweite 27467qtz48lvm9d Ableitung 27467qtz48lvm9d nur 27467qtz48lvm9d an 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Stelle 27467qtz48lvm9d x 27467qtz48lvm9d verschwindet 27467qtz48lvm9d ansonsten 27467qtz48lvm9d überall 27467qtz48lvm9d ≠ 27467qtz48lvm9d 0 27467qtz48lvm9d ist. 27467qtz48lvm9d Von 27467qtz48lvm9d jeder 27467qtz48lvm9d Lösung 27467qtz48lvm9d ist 27467qtz48lvm9d dann 27467qtz48lvm9d eigens 27467qtz48lvm9d zu 27467qtz48lvm9d überprüfen, 27467qtz48lvm9d ob 27467qtz48lvm9d es 27467qtz48lvm9d sich 27467qtz48lvm9d tatsächlich 27467qtz48lvm9d um 27467qtz48lvm9d einen 27467qtz48lvm9d Wendepunkt 27467qtz48lvm9d handelt. 27467qtz48lvm9d

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

Das 27467qtz48lvm9d in 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Praxis 27467qtz48lvm9d einfachste 27467qtz48lvm9d Verfahren 27467qtz48lvm9d besteht 27467qtz48lvm9d darin, 27467qtz48lvm9d einige 27467qtz48lvm9d Werte 27467qtz48lvm9d von 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d f’ 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d konkret 27467qtz48lvm9d auszurechnen 27467qtz48lvm9d und 27467qtz48lvm9d miteinander 27467qtz48lvm9d zu 27467qtz48lvm9d vergleichen, 27467qtz48lvm9d um 27467qtz48lvm9d festzustellen, 27467qtz48lvm9d ob 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d Stelle 27467qtz48lvm9d x 27467qtz48lvm9d ein 27467qtz48lvm9d lokales 27467qtz48lvm9d Extremum 27467qtz48lvm9d von 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d f’ 27467qtz48lvm9d ist. 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

Ist 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d f’’(x)=0 27467qtz48lvm9d und 27467qtz48lvm9d f’’’(x) 27467qtz48lvm9d ≠ 27467qtz48lvm9d 0, 27467qtz48lvm9d so 27467qtz48lvm9d ist 27467qtz48lvm9d x 27467qtz48lvm9d ein 27467qtz48lvm9d Wendepunkt 27467qtz48lvm9d von 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d f. 27467qtz48lvm9d Ist 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d f’’’(x)=0, 27467qtz48lvm9d so 27467qtz48lvm9d lässt 27467qtz48lvm9d sich 27467qtz48lvm9d daraus 27467qtz48lvm9d keine 27467qtz48lvm9d Aussage 27467qtz48lvm9d machen, 27467qtz48lvm9d ob 27467qtz48lvm9d es 27467qtz48lvm9d sich 27467qtz48lvm9d um 27467qtz48lvm9d einen 27467qtz48lvm9d Wendepunkt 27467qtz48lvm9d handelt. 27467qtz48lvm9d

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

9. 27467qtz48lvm9d Unstetigkeiten 27467qtz48lvm9d einer 27467qtz48lvm9d Funktion

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

Pol 27467qtz48lvm9d x_p 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Funktion 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d f 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d ist 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Wert 27467qtz48lvm9d aus 27467qtz48lvm9d dem 27467qtz48lvm9d Definitionsbereich, 27467qtz48lvm9d bei 27467qtz48lvm9d dem 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Funktionswert 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d f(x_p) 27467qtz48lvm9d gegen 27467qtz48lvm9d ±∞ 27467qtz48lvm9d strebt 27467qtz48lvm9d (Unendlichkeitsstelle).

Bei 27467qtz48lvm9d rationalen 27467qtz48lvm9d Funktionen 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d f(x_p) 27467qtz48lvm9d = 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d gilt: 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

27467qtz48lvm9d

Lücken 27467qtz48lvm9d bei 27467qtz48lvm9d gebrochen 27467qtz48lvm9d rationalen 27467qtz48lvm9d Funktionen 27467qtz48lvm9d treten 27467qtz48lvm9d an 27467qtz48lvm9d den 27467qtz48lvm9d Stellen 27467qtz48lvm9d auf, 27467qtz48lvm9d wo 27467qtz48lvm9d Zähler 27467qtz48lvm9d und 27467qtz48lvm9d Nenner 27467qtz48lvm9d gleichzeitig 27467qtz48lvm9d verschwinden 27467qtz48lvm9d z.B. 27467qtz48lvm9d

y= 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d an 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Stelle 27467qtz48lvm9d x 27467qtz48lvm9d = 27467qtz48lvm9d 1, 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d f(1) 27467qtz48lvm9d = 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d .

27467qtz48lvm9d

10. 27467qtz48lvm9d Verhalten 27467qtz48lvm9d im 27467qtz48lvm9d Unendlichen, 27467qtz48lvm9d Grenzwert 27467qtz48lvm9d des 27467qtz48lvm9d Funktionswertes 27467qtz48lvm9d für 27467qtz48lvm9d x 27467qtz48lvm9d → 27467qtz48lvm9d ±∞ 27467qtz48lvm9d

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

Für 27467qtz48lvm9d unbeschränkt 27467qtz48lvm9d wachsende 27467qtz48lvm9d (abnehmende) 27467qtz48lvm9d Argumente 27467qtz48lvm9d hat 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d f 27467qtz48lvm9d den 27467qtz48lvm9d Grenzwert 27467qtz48lvm9d , 27467qtz48lvm9d Bedingungen 27467qtz48lvm9d siehe 27467qtz48lvm9d Grenzwert. 27467qtz48lvm9d

Ganzrationale 27467qtz48lvm9d Funktionen 27467qtz48lvm9d streben 27467qtz48lvm9d immer 27467qtz48lvm9d gegen 27467qtz48lvm9d +∞ 27467qtz48lvm9d oder 27467qtz48lvm9d -∞. 27467qtz48lvm9d Ausschlaggebend 27467qtz48lvm9d für 27467qtz48lvm9d das 27467qtz48lvm9d Verhalten 27467qtz48lvm9d im 27467qtz48lvm9d Unendlichen 27467qtz48lvm9d ist 27467qtz48lvm9d ausschließlich 27467qtz48lvm9d Vorzeichen 27467qtz48lvm9d und 27467qtz48lvm9d Grad 27467qtz48lvm9d des 27467qtz48lvm9d höchstgradigen 27467qtz48lvm9d Glieds 27467qtz48lvm9d des 27467qtz48lvm9d Polynoms.

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

f(x)= 27467qtz48lvm9d 2x² 27467qtz48lvm9d – 27467qtz48lvm9d 63000x 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d + 27467qtz48lvm9d 8 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

Das 27467qtz48lvm9d Glied 27467qtz48lvm9d -63000x 27467qtz48lvm9d wird 27467qtz48lvm9d gegenüber 27467qtz48lvm9d 2x^{2 27467qtz48lvm9d} sehr 27467qtz48lvm9d schnell 27467qtz48lvm9d unbedeutend, 27467qtz48lvm9d wenn 27467qtz48lvm9d x 27467qtz48lvm9d gegen 27467qtz48lvm9d ± 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d ∞ 27467qtz48lvm9d geht. 27467qtz48lvm9d Die 27467qtz48lvm9d Funktion 27467qtz48lvm9d strebt 27467qtz48lvm9d also 27467qtz48lvm9d wie 27467qtz48lvm9d 2x² 27467qtz48lvm9d für 27467qtz48lvm9d x→+∞ 27467qtz48lvm9d gegen 27467qtz48lvm9d +∞ 27467qtz48lvm9d und 27467qtz48lvm9d für 27467qtz48lvm9d x→-∞ 27467qtz48lvm9d ebenfalls 27467qtz48lvm9d gegen 27467qtz48lvm9d +∞. 27467qtz48lvm9d

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

Beispiel:

27467qtz48lvm9d

2x² 27467qtz48lvm9d – 27467qtz48lvm9d 63000 27467qtz48lvm9d + 27467qtz48lvm9d 8= 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d +∞

 

2x² 27467qtz48lvm9d – 27467qtz48lvm9d 63000 27467qtz48lvm9d + 27467qtz48lvm9d 8= 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d +∞

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

Gebrochenrationale 27467qtz48lvm9d Funktionen 27467qtz48lvm9d hingegen 27467qtz48lvm9d können 27467qtz48lvm9d auch 27467qtz48lvm9d ganz 27467qtz48lvm9d anderes 27467qtz48lvm9d Verhalten 27467qtz48lvm9d im 27467qtz48lvm9d Unendlichen 27467qtz48lvm9d zeigen. 27467qtz48lvm9d Tatsächlich 27467qtz48lvm9d kann 27467qtz48lvm9d eine 27467qtz48lvm9d gebrochenrationale 27467qtz48lvm9d Funktion, 27467qtz48lvm9d abhängig 27467qtz48lvm9d von 27467qtz48lvm9d den 27467qtz48lvm9d Graden 27467qtz48lvm9d des 27467qtz48lvm9d Zähler- 27467qtz48lvm9d und 27467qtz48lvm9d Nennerpolynoms, 27467qtz48lvm9d ganz 27467qtz48lvm9d verschiedene 27467qtz48lvm9d Verhalten 27467qtz48lvm9d im 27467qtz48lvm9d Unendlichen 27467qtz48lvm9d zeigen. 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

• Ist 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Zählergrad 27467qtz48lvm9d größer 27467qtz48lvm9d als 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Nennergrad, 27467qtz48lvm9d divergiert 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d Funktion 27467qtz48lvm9d d.h. 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Graph 27467qtz48lvm9d läuft 27467qtz48lvm9d gegen 27467qtz48lvm9d + 27467qtz48lvm9d oder 27467qtz48lvm9d – 27467qtz48lvm9d Unendlich. 27467qtz48lvm9d

• Sind 27467qtz48lvm9d Zähler- 27467qtz48lvm9d und 27467qtz48lvm9d Nennergrad 27467qtz48lvm9d gleich, 27467qtz48lvm9d gibt 27467qtz48lvm9d es 27467qtz48lvm9d eine 27467qtz48lvm9d waagrechte 27467qtz48lvm9d Grenzkurve 27467qtz48lvm9d (= 27467qtz48lvm9d Asymptote) 27467qtz48lvm9d parallel 27467qtz48lvm9d zur 27467qtz48lvm9d x-Achse, 27467qtz48lvm9d an 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d sich 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Graph 27467qtz48lvm9d annähert. 27467qtz48lvm9d

• Ist 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Zählergrad 27467qtz48lvm9d kleiner 27467qtz48lvm9d als 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Nennergrad, 27467qtz48lvm9d nähert 27467qtz48lvm9d sich 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Graph 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d x-Achse. 27467qtz48lvm9d

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

Beispiel:

27467qtz48lvm9d

= 27467qtz48lvm9d 2

= 27467qtz48lvm9d 2

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

Das 27467qtz48lvm9d Ergebnis 27467qtz48lvm9d zeigt, 27467qtz48lvm9d dass 27467qtz48lvm9d es 27467qtz48lvm9d eine 27467qtz48lvm9d waagrechte 27467qtz48lvm9d Asymptote 27467qtz48lvm9d gibt, 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d bei 27467qtz48lvm9d 2 27467qtz48lvm9d durch 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d y-Achse 27467qtz48lvm9d läuft. 27467qtz48lvm9d Zähler 27467qtz48lvm9d und 27467qtz48lvm9d Nennergrad 27467qtz48lvm9d sind 27467qtz48lvm9d gleich. 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d Asymptoten 27467qtz48lvm9d und 27467qtz48lvm9d Grenzkurven

27467qtz48lvm9d

Wie 27467qtz48lvm9d kann 27467qtz48lvm9d man 27467qtz48lvm9d feststellen, 27467qtz48lvm9d ob 27467qtz48lvm9d eine 27467qtz48lvm9d gegebene 27467qtz48lvm9d rationale 27467qtz48lvm9d Funktion 27467qtz48lvm9d Asymptoten 27467qtz48lvm9d besitzt 27467qtz48lvm9d und 27467qtz48lvm9d wie 27467qtz48lvm9d sie 27467qtz48lvm9d liegen?

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

1. Wir 27467qtz48lvm9d betrachten 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d Funktion

27467qtz48lvm9d

f(x)= 27467qtz48lvm9d

27467qtz48lvm9d

Sie 27467qtz48lvm9d besitzt 27467qtz48lvm9d einen 27467qtz48lvm9d Pol, 27467qtz48lvm9d und 27467qtz48lvm9d zwar 27467qtz48lvm9d bei 27467qtz48lvm9d x = 1. 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d Daher 27467qtz48lvm9d ist 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d "vertikale" 27467qtz48lvm9d (zur 27467qtz48lvm9d y-Achse 27467qtz48lvm9d parallele) 27467qtz48lvm9d Gerade, 27467qtz48lvm9d auf 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d x = 1 27467qtz48lvm9d gilt, 27467qtz48lvm9d eine 27467qtz48lvm9d Asymptote.

Um 27467qtz48lvm9d herauszufinden, 27467qtz48lvm9d wie 27467qtz48lvm9d sich 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d Funktion 27467qtz48lvm9d für 27467qtz48lvm9d |x| 27467qtz48lvm9d → 27467qtz48lvm9d ∞ 27467qtz48lvm9d verhält, 27467qtz48lvm9d benutzen 27467qtz48lvm9d wir 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d Tatsache, 27467qtz48lvm9d dass 27467qtz48lvm9d eine 27467qtz48lvm9d Potenz 27467qtz48lvm9d umso 27467qtz48lvm9d schneller 27467qtz48lvm9d wächst, 27467qtz48lvm9d je 27467qtz48lvm9d größer 27467qtz48lvm9d ihr 27467qtz48lvm9d Exponent 27467qtz48lvm9d ist. 27467qtz48lvm9d Wird 27467qtz48lvm9d x 27467qtz48lvm9d immer 27467qtz48lvm9d größer, 27467qtz48lvm9d so 27467qtz48lvm9d wächst 27467qtz48lvm9d x³ 27467qtz48lvm9d wesentlich 27467qtz48lvm9d schneller 27467qtz48lvm9d als 27467qtz48lvm9d x², 27467qtz48lvm9d und 27467qtz48lvm9d dieses 27467qtz48lvm9d wiederum 27467qtz48lvm9d schneller 27467qtz48lvm9d als 27467qtz48lvm9d x. 27467qtz48lvm9d Für 27467qtz48lvm9d große 27467qtz48lvm9d x 27467qtz48lvm9d kommt 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Wert 27467qtz48lvm9d eines 27467qtz48lvm9d Polynoms 27467qtz48lvm9d in 27467qtz48lvm9d erster 27467qtz48lvm9d Linie 27467qtz48lvm9d durch 27467qtz48lvm9d seine 27467qtz48lvm9d höchste 27467qtz48lvm9d Potenz 27467qtz48lvm9d zustande. 27467qtz48lvm9d

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

Wir 27467qtz48lvm9d erhalten 27467qtz48lvm9d also 27467qtz48lvm9d einen 27467qtz48lvm9d ersten 27467qtz48lvm9d Eindruck 27467qtz48lvm9d vom 27467qtz48lvm9d "asymptotischen 27467qtz48lvm9d Verhalten" 27467qtz48lvm9d unserer 27467qtz48lvm9d Funktion, 27467qtz48lvm9d wenn 27467qtz48lvm9d wir 27467qtz48lvm9d zuerst 27467qtz48lvm9d alle 27467qtz48lvm9d Klammern 27467qtz48lvm9d ausmultiplizieren.

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

f(x)= 27467qtz48lvm9d

27467qtz48lvm9d

und 27467qtz48lvm9d dann 27467qtz48lvm9d für 27467qtz48lvm9d Zähler 27467qtz48lvm9d und 27467qtz48lvm9d Nenner 27467qtz48lvm9d nur 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d höchsten 27467qtz48lvm9d Potenzen 27467qtz48lvm9d anschreiben:

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

f(x)≈ 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d wenn 27467qtz48lvm9d |x| 27467qtz48lvm9d groß 27467qtz48lvm9d ist

27467qtz48lvm9d

Für 27467qtz48lvm9d |x| 27467qtz48lvm9d → 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d ∞ 27467qtz48lvm9d verhält 27467qtz48lvm9d sich 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d Funktion 27467qtz48lvm9d also 27467qtz48lvm9d wie 27467qtz48lvm9d 1/x. 27467qtz48lvm9d Ihr 27467qtz48lvm9d Graph 27467qtz48lvm9d nähert 27467qtz48lvm9d sich 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d x-Achse. 27467qtz48lvm9d Daher 27467qtz48lvm9d ist 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d x-Achse 27467qtz48lvm9d eine 27467qtz48lvm9d Asymptote 27467qtz48lvm9d von 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d f.

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

27467qtz48lvm9d

2.) 27467qtz48lvm9d Wir 27467qtz48lvm9d betrachten 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d Funktion

27467qtz48lvm9d

f(x)= 27467qtz48lvm9d

27467qtz48lvm9d

Diesmal 27467qtz48lvm9d gibt 27467qtz48lvm9d es 27467qtz48lvm9d keinen 27467qtz48lvm9d Pol 27467qtz48lvm9d (da 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Nenner 27467qtz48lvm9d immer 27467qtz48lvm9d ungleich 27467qtz48lvm9d Null 27467qtz48lvm9d ist), 27467qtz48lvm9d daher 27467qtz48lvm9d auch 27467qtz48lvm9d keine 27467qtz48lvm9d zur 27467qtz48lvm9d y-Achse 27467qtz48lvm9d parallele 27467qtz48lvm9d Asymptote. 27467qtz48lvm9d Es 27467qtz48lvm9d bleibt 27467qtz48lvm9d also, 27467qtz48lvm9d das 27467qtz48lvm9d Verhalten 27467qtz48lvm9d für 27467qtz48lvm9d |x| 27467qtz48lvm9d → 27467qtz48lvm9d ∞ 27467qtz48lvm9d zu 27467qtz48lvm9d untersuchen. 27467qtz48lvm9d Indem 27467qtz48lvm9d wir 27467qtz48lvm9d wieder 27467qtz48lvm9d nur 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d jeweils 27467qtz48lvm9d höchsten 27467qtz48lvm9d Potenzen 27467qtz48lvm9d in 27467qtz48lvm9d Zähler 27467qtz48lvm9d und 27467qtz48lvm9d Nenner 27467qtz48lvm9d berücksichtigen.

27467qtz48lvm9d

f(x)≈ 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d wenn 27467qtz48lvm9d |x| 27467qtz48lvm9d groß 27467qtz48lvm9d ist

27467qtz48lvm9d

Für 27467qtz48lvm9d |x| 27467qtz48lvm9d → 27467qtz48lvm9d ∞ 27467qtz48lvm9d verhält 27467qtz48lvm9d sich 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d Funktion 27467qtz48lvm9d daher 27467qtz48lvm9d wie 27467qtz48lvm9d x², 27467qtz48lvm9d wächst 27467qtz48lvm9d also 27467qtz48lvm9d näherungsweise 27467qtz48lvm9d quadratisch. 27467qtz48lvm9d Ihr 27467qtz48lvm9d Graph 27467qtz48lvm9d nähert 27467qtz48lvm9d sich 27467qtz48lvm9d in 27467qtz48lvm9d dieser 27467qtz48lvm9d Näherung 27467qtz48lvm9d wie 27467qtz48lvm9d eine 27467qtz48lvm9d Parabel 27467qtz48lvm9d (und 27467qtz48lvm9d nicht 27467qtz48lvm9d wie 27467qtz48lvm9d eine 27467qtz48lvm9d Gerade). 27467qtz48lvm9d Daher 27467qtz48lvm9d hat 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d Funktion 27467qtz48lvm9d f 27467qtz48lvm9d überhaupt 27467qtz48lvm9d keine 27467qtz48lvm9d Asymptote.

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

3.) 27467qtz48lvm9d Als 27467qtz48lvm9d nächstes 27467qtz48lvm9d betrachten 27467qtz48lvm9d wir 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d Funktion

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

f(x)= 27467qtz48lvm9d

 

 

Ihr 27467qtz48lvm9d Nenner 27467qtz48lvm9d kann 27467qtz48lvm9d als 27467qtz48lvm9d (x 27467qtz48lvm9d + 27467qtz48lvm9d 1) 27467qtz48lvm9d (x 27467qtz48lvm9d - 27467qtz48lvm9d 1) 27467qtz48lvm9d geschrieben 27467qtz48lvm9d werden, 27467qtz48lvm9d weshalb 27467qtz48lvm9d es 27467qtz48lvm9d nun 27467qtz48lvm9d zwei 27467qtz48lvm9d Pole 27467qtz48lvm9d (bei 27467qtz48lvm9d x = -1 27467qtz48lvm9d und 27467qtz48lvm9d bei 27467qtz48lvm9d x = 1) 27467qtz48lvm9d gibt. 27467qtz48lvm9d Daher 27467qtz48lvm9d liegen 27467qtz48lvm9d zwei 27467qtz48lvm9d zur 27467qtz48lvm9d y-Achse 27467qtz48lvm9d parallele 27467qtz48lvm9d Asymptoten 27467qtz48lvm9d (bei 27467qtz48lvm9d x = -1 27467qtz48lvm9d und 27467qtz48lvm9d bei 27467qtz48lvm9d x = 1) 27467qtz48lvm9d vor.

Das 27467qtz48lvm9d Verhalten 27467qtz48lvm9d im 27467qtz48lvm9d Unendlichen 27467qtz48lvm9d erschließt 27467qtz48lvm9d sich 27467qtz48lvm9d wieder 27467qtz48lvm9d durch 27467qtz48lvm9d unsere 27467qtz48lvm9d Methode, 27467qtz48lvm9d alle 27467qtz48lvm9d Klammern 27467qtz48lvm9d auszumultiplizieren 27467qtz48lvm9d und 27467qtz48lvm9d nur 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d höchsten 27467qtz48lvm9d Potenzen 27467qtz48lvm9d zu 27467qtz48lvm9d berücksichtigen:

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

f(x)≈ 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d wenn 27467qtz48lvm9d |x| 27467qtz48lvm9d groß 27467qtz48lvm9d ist

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

Wir 27467qtz48lvm9d sehen, 27467qtz48lvm9d dass 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d Funktion 27467qtz48lvm9d für 27467qtz48lvm9d |x| 27467qtz48lvm9d → 27467qtz48lvm9d ∞ 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Konstanten 27467qtz48lvm9d 2 27467qtz48lvm9d zustrebt. 27467qtz48lvm9d Das 27467qtz48lvm9d bedeutet, 27467qtz48lvm9d dass 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Graph 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d konstanten 27467qtz48lvm9d Funktion 27467qtz48lvm9d g(x) 27467qtz48lvm9d = 27467qtz48lvm9d 2 27467qtz48lvm9d (d.h. 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d durch 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d Gleichung 27467qtz48lvm9d y = 2 27467qtz48lvm9d beschriebene, 27467qtz48lvm9d zur 27467qtz48lvm9d x-Achse 27467qtz48lvm9d parallele 27467qtz48lvm9d Gerade) 27467qtz48lvm9d eine 27467qtz48lvm9d Asymptote 27467qtz48lvm9d ist.

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

27467qtz48lvm9d

Allgemeine 27467qtz48lvm9d Aussagen 27467qtz48lvm9d über 27467qtz48lvm9d das 27467qtz48lvm9d Auftreten 27467qtz48lvm9d von 27467qtz48lvm9d Asymptoten:

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

Zunächst 27467qtz48lvm9d halten 27467qtz48lvm9d wir 27467qtz48lvm9d fest, 27467qtz48lvm9d dass 27467qtz48lvm9d jeder 27467qtz48lvm9d Pol 27467qtz48lvm9d einer 27467qtz48lvm9d rationalen 27467qtz48lvm9d Funktion 27467qtz48lvm9d Anlass 27467qtz48lvm9d zu 27467qtz48lvm9d einer 27467qtz48lvm9d (zur 27467qtz48lvm9d y-Achse 27467qtz48lvm9d parallelen) 27467qtz48lvm9d Asymptote 27467qtz48lvm9d gibt.

Wie 27467qtz48lvm9d können 27467qtz48lvm9d wir 27467qtz48lvm9d ohne 27467qtz48lvm9d großen 27467qtz48lvm9d Aufwand 27467qtz48lvm9d erkennen, 27467qtz48lvm9d ob 27467qtz48lvm9d noch 27467qtz48lvm9d weitere 27467qtz48lvm9d Asymptoten 27467qtz48lvm9d existieren? 27467qtz48lvm9d Überlegen 27467qtz48lvm9d Sie, 27467qtz48lvm9d worin 27467qtz48lvm9d sich 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d obigen 27467qtz48lvm9d Beispiele 27467qtz48lvm9d voneinander 27467qtz48lvm9d unterscheiden! 27467qtz48lvm9d Vielleicht 27467qtz48lvm9d haben 27467qtz48lvm9d Sie 27467qtz48lvm9d es 27467qtz48lvm9d selbst 27467qtz48lvm9d erraten: 27467qtz48lvm9d Es 27467qtz48lvm9d sind 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d Ordnungen 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Polynome 27467qtz48lvm9d in 27467qtz48lvm9d Zähler 27467qtz48lvm9d und 27467qtz48lvm9d Nenner, 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d für 27467qtz48lvm9d das 27467qtz48lvm9d Verhalten 27467qtz48lvm9d im 27467qtz48lvm9d Unendlichen 27467qtz48lvm9d relevant 27467qtz48lvm9d sind. 27467qtz48lvm9d Sehen 27467qtz48lvm9d wir 27467qtz48lvm9d uns 27467qtz48lvm9d das 27467qtz48lvm9d ein 27467qtz48lvm9d bisschen 27467qtz48lvm9d genauer 27467qtz48lvm9d an.

Eine 27467qtz48lvm9d rationale 27467qtz48lvm9d Funktion, 27467qtz48lvm9d also 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Quotient 27467qtz48lvm9d zweier 27467qtz48lvm9d Polynome, 27467qtz48lvm9d ist 27467qtz48lvm9d immer 27467qtz48lvm9d von 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Form

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

f(x)=

27467qtz48lvm9d

wobei 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Zähler 27467qtz48lvm9d p 27467qtz48lvm9d ein 27467qtz48lvm9d Polynom 27467qtz48lvm9d n-ter 27467qtz48lvm9d Ordnung, 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Nenner 27467qtz48lvm9d q 27467qtz48lvm9d ein 27467qtz48lvm9d Polynom 27467qtz48lvm9d m-ter 27467qtz48lvm9d Ordnung 27467qtz48lvm9d ist. 27467qtz48lvm9d Folgende 27467qtz48lvm9d Fälle 27467qtz48lvm9d können 27467qtz48lvm9d eintreten:

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

• Ist 27467qtz48lvm9d n < m, 27467qtz48lvm9d so 27467qtz48lvm9d strebt 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d Funktion 27467qtz48lvm9d für 27467qtz48lvm9d |x| 27467qtz48lvm9d → 27467qtz48lvm9d ∞ 27467qtz48lvm9d gegen 27467qtz48lvm9d Null. 27467qtz48lvm9d Daher 27467qtz48lvm9d ist 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d x-Achse 27467qtz48lvm9d eine 27467qtz48lvm9d Asymptote.

 

• Ist 27467qtz48lvm9d n = m, 27467qtz48lvm9d so 27467qtz48lvm9d strebt 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d Funktion 27467qtz48lvm9d für 27467qtz48lvm9d |x| 27467qtz48lvm9d → 27467qtz48lvm9d ∞ 27467qtz48lvm9d gegen 27467qtz48lvm9d eine 27467qtz48lvm9d Konstante. 27467qtz48lvm9d Daher 27467qtz48lvm9d existiert 27467qtz48lvm9d eine 27467qtz48lvm9d zur 27467qtz48lvm9d x-Achse 27467qtz48lvm9d parallele 27467qtz48lvm9d Asymptote, 27467qtz48lvm9d deren 27467qtz48lvm9d Lage 27467qtz48lvm9d sich 27467qtz48lvm9d unmittelbar 27467qtz48lvm9d aus 27467qtz48lvm9d dem 27467qtz48lvm9d Wert 27467qtz48lvm9d dieser 27467qtz48lvm9d Konstanten 27467qtz48lvm9d ergibt.
    27467qtz48lvm9d

27467qtz48lvm9d

• Ist 27467qtz48lvm9d n > m + 1 27467qtz48lvm9d (d.h. 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d Ordnung 27467qtz48lvm9d des 27467qtz48lvm9d Zählers 27467qtz48lvm9d zumindest 27467qtz48lvm9d um 27467qtz48lvm9d 2 27467qtz48lvm9d höher 27467qtz48lvm9d als 27467qtz48lvm9d jene 27467qtz48lvm9d des 27467qtz48lvm9d Nenners), 27467qtz48lvm9d so 27467qtz48lvm9d nähert 27467qtz48lvm9d sich 27467qtz48lvm9d das 27467qtz48lvm9d Verhalten 27467qtz48lvm9d für 27467qtz48lvm9d große 27467qtz48lvm9d |x| 27467qtz48lvm9d einer 27467qtz48lvm9d Potenzfunktion 27467qtz48lvm9d mit 27467qtz48lvm9d Exponenten 27467qtz48lvm9d größer 27467qtz48lvm9d als 27467qtz48lvm9d 1. 27467qtz48lvm9d Daher 27467qtz48lvm9d existiert 27467qtz48lvm9d keine 27467qtz48lvm9d weitere 27467qtz48lvm9d Asymptote 27467qtz48lvm9d mehr. 27467qtz48lvm9d

 

 

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

Diskussion 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Gauss’schen 27467qtz48lvm9d Glockenkurve 27467qtz48lvm9d

27467qtz48lvm9d

Diskutiere 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d Funktion 27467qtz48lvm9d g(x)= 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d (σ 27467qtz48lvm9d > 27467qtz48lvm9d 0)

Lösung:

1. Größtmöglicher 27467qtz48lvm9d Definitionsbereich, 27467qtz48lvm9d Stetigkeit, 27467qtz48lvm9d Polstellen: 27467qtz48lvm9d Die 27467qtz48lvm9d Funktion 27467qtz48lvm9d ist 27467qtz48lvm9d für 27467qtz48lvm9d alle 27467qtz48lvm9d xR 27467qtz48lvm9d definiert; 27467qtz48lvm9d keine 27467qtz48lvm9d Unstetigkeiten 27467qtz48lvm9d und 27467qtz48lvm9d keine 27467qtz48lvm9d Polstellen 27467qtz48lvm9d (Unendlichkeitsstellen).

2. Symterie? 27467qtz48lvm9d Für 27467qtz48lvm9d = 27467qtz48lvm9d 0 27467qtz48lvm9d ist 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d Funktion 27467qtz48lvm9d gerade, 27467qtz48lvm9d da 27467qtz48lvm9d in 27467qtz48lvm9d diesem 27467qtz48lvm9d Fall 27467qtz48lvm9d g(-x)=g(x). 27467qtz48lvm9d Für 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d ≠ 27467qtz48lvm9d 0 27467qtz48lvm9d ist 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d Funktion 27467qtz48lvm9d weder 27467qtz48lvm9d gerade 27467qtz48lvm9d noch 27467qtz48lvm9d ungerade. 27467qtz48lvm9d

3. Nullstellen

Da 27467qtz48lvm9d stets 27467qtz48lvm9d g(x) 27467qtz48lvm9d > 27467qtz48lvm9d 0, 27467qtz48lvm9d gibt 27467qtz48lvm9d es 27467qtz48lvm9d keine 27467qtz48lvm9d Nullstellen.

4. Verhalten 27467qtz48lvm9d im 27467qtz48lvm9d Unendlichen, 27467qtz48lvm9d Asymptoten

Wächst 27467qtz48lvm9d x 27467qtz48lvm9d über 27467qtz48lvm9d alle 27467qtz48lvm9d Schranken, 27467qtz48lvm9d so 27467qtz48lvm9d geht 27467qtz48lvm9d g(x) 27467qtz48lvm9d unbegrenzt 27467qtz48lvm9d nach 27467qtz48lvm9d 0: 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d g(x)=0.

Das 27467qtz48lvm9d gleiche 27467qtz48lvm9d gilt, 27467qtz48lvm9d wenn 27467qtz48lvm9d x 27467qtz48lvm9d nach 27467qtz48lvm9d -∞ 27467qtz48lvm9d geht: 27467qtz48lvm9d g(x)=0. 27467qtz48lvm9d Die 27467qtz48lvm9d Gerade 27467qtz48lvm9d y=0, 27467qtz48lvm9d also 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d x-Achse, 27467qtz48lvm9d ist 27467qtz48lvm9d Asymptote 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Funktion. 27467qtz48lvm9d

 

5. Extrema 27467qtz48lvm9d und 27467qtz48lvm9d Wendestellen

 

 

g’(x)= 27467qtz48lvm9d *(2(x-μ))= 27467qtz48lvm9d -

 

 

g’’(x)= 27467qtz48lvm9d - 27467qtz48lvm9d

 

Mögliche 27467qtz48lvm9d Extremalstellen: 27467qtz48lvm9d g’(x)= 27467qtz48lvm9d - 27467qtz48lvm9d

Die 27467qtz48lvm9d erste 27467qtz48lvm9d Ableitung 27467qtz48lvm9d ist 27467qtz48lvm9d nur 27467qtz48lvm9d null, 27467qtz48lvm9d wenn 27467qtz48lvm9d x 27467qtz48lvm9d = 27467qtz48lvm9d μ 27467qtz48lvm9d ist, 27467qtz48lvm9d da 27467qtz48lvm9d eine 27467qtz48lvm9d Exponentialfunktion 27467qtz48lvm9d stets 27467qtz48lvm9d positiv 27467qtz48lvm9d ist 27467qtz48lvm9d und 27467qtz48lvm9d daher 27467qtz48lvm9d nie 27467qtz48lvm9d null 27467qtz48lvm9d sein 27467qtz48lvm9d kann. 27467qtz48lvm9d

 

Da 27467qtz48lvm9d g’’(μ)=-, 27467qtz48lvm9d ist 27467qtz48lvm9d x 27467qtz48lvm9d = 27467qtz48lvm9d μ 27467qtz48lvm9d eine 27467qtz48lvm9d Maximumstelle. 27467qtz48lvm9d

 

Wegen 27467qtz48lvm9d g(0)= 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d = 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d gilt 27467qtz48lvm9d für 27467qtz48lvm9d den 27467qtz48lvm9d Hochpunkt 27467qtz48lvm9d H(μ, 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d ).

 

Mögliche 27467qtz48lvm9d Wendestellen: 27467qtz48lvm9d g’’(x)= 27467qtz48lvm9d -**= 27467qtz48lvm9d 0

Diese 27467qtz48lvm9d Gleichung 27467qtz48lvm9d ist 27467qtz48lvm9d nur 27467qtz48lvm9d null, 27467qtz48lvm9d wenn 27467qtz48lvm9d = 27467qtz48lvm9d 0 27467qtz48lvm9d ist. 27467qtz48lvm9d Daraus 27467qtz48lvm9d folgt 27467qtz48lvm9d (x-μ)²= 27467qtz48lvm9d σ²

oder 27467qtz48lvm9d weiter 27467qtz48lvm9d x 27467qtz48lvm9d - 27467qtz48lvm9d μ 27467qtz48lvm9d = 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d ±σ 27467qtz48lvm9d oder 27467qtz48lvm9d x 27467qtz48lvm9d = 27467qtz48lvm9d μ 27467qtz48lvm9d ± 27467qtz48lvm9d σ.

 

Statt 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d 3. 27467qtz48lvm9d Ableitung 27467qtz48lvm9d zu 27467qtz48lvm9d berechnen 27467qtz48lvm9d und 27467qtz48lvm9d damit 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d x 27467qtz48lvm9d = 27467qtz48lvm9d μ 27467qtz48lvm9d ± 27467qtz48lvm9d σ 27467qtz48lvm9d als 27467qtz48lvm9d Wendestellen 27467qtz48lvm9d zu 27467qtz48lvm9d bestätigen 27467qtz48lvm9d kann 27467qtz48lvm9d man 27467qtz48lvm9d wie 27467qtz48lvm9d folgt 27467qtz48lvm9d argumentieren: 27467qtz48lvm9d g’’(x) 27467qtz48lvm9d wechselt 27467qtz48lvm9d an 27467qtz48lvm9d x 27467qtz48lvm9d = 27467qtz48lvm9d μ−σ 27467qtz48lvm9d sein 27467qtz48lvm9d Vorzeichen 27467qtz48lvm9d von 27467qtz48lvm9d + 27467qtz48lvm9d auf 27467qtz48lvm9d −, 27467qtz48lvm9d d.h. 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d Kurve 27467qtz48lvm9d wechselt 27467qtz48lvm9d an 27467qtz48lvm9d dieser 27467qtz48lvm9d Stelle 27467qtz48lvm9d von 27467qtz48lvm9d einer 27467qtz48lvm9d Links- 27467qtz48lvm9d zu 27467qtz48lvm9d einer 27467qtz48lvm9d Rechtskurve 27467qtz48lvm9d das 27467qtz48lvm9d bedeutet 27467qtz48lvm9d aber 27467qtz48lvm9d gerade, 27467qtz48lvm9d dass 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d Kurve 27467qtz48lvm9d an 27467qtz48lvm9d dieser 27467qtz48lvm9d Stelle 27467qtz48lvm9d einen 27467qtz48lvm9d Wendepunkt 27467qtz48lvm9d besitzt. 27467qtz48lvm9d Entsprechend 27467qtz48lvm9d folgert 27467qtz48lvm9d man 27467qtz48lvm9d an 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Stelle 27467qtz48lvm9d x 27467qtz48lvm9d = 27467qtz48lvm9d μ+σ, 27467qtz48lvm9d wo 27467qtz48lvm9d das 27467qtz48lvm9d Vorzeichen 27467qtz48lvm9d von 27467qtz48lvm9d g’’(x) 27467qtz48lvm9d von 27467qtz48lvm9d − 27467qtz48lvm9d auf 27467qtz48lvm9d + 27467qtz48lvm9d wechselt, 27467qtz48lvm9d dass 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d Kurve 27467qtz48lvm9d von 27467qtz48lvm9d einer 27467qtz48lvm9d Rechts 27467qtz48lvm9d zu 27467qtz48lvm9d einer 27467qtz48lvm9d Linkskurve 27467qtz48lvm9d übergeht. 27467qtz48lvm9d

 

Wegen 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d g(μ−σ)= 27467qtz48lvm9d = 27467qtz48lvm9d *= 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d ist 27467qtz48lvm9d W_1.

_{27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d}

Da 27467qtz48lvm9d g(μ 27467qtz48lvm9d + 27467qtz48lvm9d σ) 27467qtz48lvm9d = 27467qtz48lvm9d g(μ 27467qtz48lvm9d – 27467qtz48lvm9d σ) 27467qtz48lvm9d lautet 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d zweite 27467qtz48lvm9d Wendepunkt: 27467qtz48lvm9d W₂.

Jede 27467qtz48lvm9d Gauß’sche 27467qtz48lvm9d Glockenkurve 27467qtz48lvm9d besitzt 27467qtz48lvm9d also 27467qtz48lvm9d ein 27467qtz48lvm9d Maximum 27467qtz48lvm9d an 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Stelle 27467qtz48lvm9d μ 27467qtz48lvm9d und 27467qtz48lvm9d zwei 27467qtz48lvm9d symmetrisch 27467qtz48lvm9d dazu 27467qtz48lvm9d liegende 27467qtz48lvm9d Wendepunkte 27467qtz48lvm9d an 27467qtz48lvm9d den 27467qtz48lvm9d Stellen 27467qtz48lvm9d μ 27467qtz48lvm9d − 27467qtz48lvm9d σ 27467qtz48lvm9d und 27467qtz48lvm9d μ 27467qtz48lvm9d + 27467qtz48lvm9d σ. 27467qtz48lvm9d Diese 27467qtz48lvm9d geben 27467qtz48lvm9d dem 27467qtz48lvm9d Graphen 27467qtz48lvm9d eine 27467qtz48lvm9d glockenförmige 27467qtz48lvm9d Gestallt. 27467qtz48lvm9d

 

g(x) 27467qtz48lvm9d ist 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d so 27467qtz48lvm9d genannte 27467qtz48lvm9d Dichtefunktion 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Normalverteilung, 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d von 27467qtz48lvm9d fundamentaler 27467qtz48lvm9d Bedeutung 27467qtz48lvm9d in 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Statistik 27467qtz48lvm9d ist. 27467qtz48lvm9d μ 27467qtz48lvm9d heißt 27467qtz48lvm9d Erwartungswert 27467qtz48lvm9d oder 27467qtz48lvm9d Mittelwert, 27467qtz48lvm9d σ 27467qtz48lvm9d Standardabweichung 27467qtz48lvm9d der 27467qtz48lvm9d Normalverteilung. 27467qtz48lvm9d

 

6. Graphen 27467qtz48lvm9d zeichen: 27467qtz48lvm9d Die 27467qtz48lvm9d Abbildung 27467qtz48lvm9d zeigt 27467qtz48lvm9d die 27467qtz48lvm9d Gauß’sche 27467qtz48lvm9d Glockenkurve. 27467qtz48lvm9d

 

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

 

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d

 

 

27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d 27467qtz48lvm9d